Асимптотология - Asymptotology

Асимптотология был определен как «искусство работы с прикладными математическими системами в предельные случаи ”^[1] а также «наука о синтезе простоты и точности посредством локализации».^[2]

Принципы

Поле асимптотика обычно впервые встречается в школе геометрия с введением асимптота, линия, к которой кривая стремится на бесконечности. Слово Ασύμπτωτος (асимптотос) по-гречески означает несовпадение и подчеркивает, что приближение не превращается в совпадение. Это характерная черта асимптотики, но само по себе это свойство не полностью покрывает идею асимптотика и этимологически этого термина кажется совершенно недостаточно.

Теория возмущений, малые и большие параметры

В физика и другие области наука, часто встречаются проблемы асимптотического характера, такие как затухание, орбита, стабилизация возмущенного движения и т. д. Их решения поддаются асимптотический анализ (теория возмущений ), который широко используется в современных Прикладная математика, механика и физика. Но асимптотические методы претендуют на то, чтобы быть чем-то большим, чем просто классическая математика. К. Фридрихс сказал: «Асимптотическое описание - это не только удобный инструмент математического анализа природы, оно имеет более фундаментальное значение». М. Крускал ввел специальный термин асимптотология, определенный выше, и призвал к формализации накопленного опыта, чтобы преобразовать искусство асимптотологии в науку. Общий термин может иметь значительную эвристическую ценность. В своем эссе «Будущее математики»^[3] Х. Пуанкаре написал следующее.

Изобретения нового слова часто бывает достаточно, чтобы выявить отношение, и слово будет творческим ... Трудно поверить, какая экономия мысли, как говорил Мах, может быть произведена хорошо ... выбранный термин ... Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам ... Когда язык выбран правильно, можно с удивлением обнаружить, что все демонстрации известного объекта сразу же применимы ко многим новым объектам: ничего требует изменения, даже не термины, поскольку имена стали такими же ... Таким образом, сам факт иногда не представляет особого интереса ... он приобретает ценность только тогда, когда более внимательный мыслитель улавливает связь, которую он приносит out, и символизирует это термином.

Кроме того, «успех»кибернетика ’, ‘аттракторы ' и 'теория катастроф 'Иллюстрирует плодотворность словотворчества как научного исследования ».^[4]

Почти каждая физическая теория, сформулированная в самом общем виде, довольно сложна с математической точки зрения. Поэтому как при зарождении теории, так и при ее дальнейшем развитии особую важность имеют простейшие предельные случаи, допускающие аналитические решения. В этих пределах обычно уменьшается количество уравнений, уменьшается их порядок, нелинейные уравнения могут быть заменены линейными, исходная система становится в определенном смысле усредненной и т. Д.

Все эти идеализации, какими бы разными они ни казались, повышают степень симметрии математической модели рассматриваемого явления.

Асимптотический подход

По сути, асимптотический подход к сложной задаче состоит в том, чтобы рассматривать недостаточно симметричную управляющую систему как можно ближе к некоторой симметричной.

При попытке получить лучшее приближение точного решения данной проблемы важно, чтобы определение корректирующих решений, выходящих за пределы предельного случая, было намного проще, чем непосредственное исследование управляющей системы. На первый взгляд, возможности такого подхода ограничиваются варьированием параметров, определяющих систему, лишь в узком диапазоне. Однако опыт исследования различных физических проблем показывает, что если параметры системы изменились в значительной степени и система далеко отклонилась от симметричного предельного случая, может быть найдена другая предельная система, часто с менее очевидными симметриями, для которой проводится асимптотический анализ. также применимо. Это позволяет описывать поведение системы на основе небольшого числа предельных случаев во всем диапазоне изменения параметров. Такой подход соответствует максимальному уровню интуиции, способствует дальнейшему пониманию и в конечном итоге приводит к формулированию новых физических концепций.

Также важно, что асимптотический анализ помогает установить связь между различными физическими теориями. Целью асимптотического подхода является упрощение объекта. Это упрощение достигается за счет уменьшения окрестности рассматриваемой особенности. Типично, что точность асимптотических разложений растет с локализацией. Точность и простота обычно считаются взаимоисключающими понятиями. Стремясь к простоте, мы жертвуем точностью, а пытаясь достичь точности, мы не ожидаем простоты. Однако при локализации антиподы сходятся; противоречие разрешается в синтезе, называемом асимптотика. Другими словами, простота и точность связаны соотношением «принцип неопределенности», в то время как размер области служит малым параметром - мерой неопределенности.

Принцип асимптотической неопределенности

Проиллюстрируем «принцип асимптотической неопределенности». Возьмите расширение функции ${ displaystyle f (x)}$ в асимптотической последовательности ${ Displaystyle { phi _ {п} (х)}}$ :
${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} phi _ {n} (x)}$ , ${ displaystyle x}$ → ${ displaystyle 0}$ .

Частичная сумма ряда обозначена ${ Displaystyle S_ {N} (х)}$ , а точность приближения при заданном ${ displaystyle N}$ оценивается ${ Displaystyle Delta _ {N} (х) = | е (х) -S_ {N} (х) |}$ . Простота здесь характеризуется числом ${ displaystyle N}$ а населенный пункт - длиной интервала ${ displaystyle x}$ .

На основании известных свойств асимптотическое разложение, мы рассматриваем попарную взаимосвязь ценностей ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle N}$ , и ${ displaystyle Delta}$ . На фиксированной ${ displaystyle x}$ расширение изначально сходится, т.е. точность возрастает за счет простоты. Если мы исправим ${ displaystyle N}$ , точность и размер интервала начинают конкурировать. Чем меньше интервал, тем данное значение ${ displaystyle Delta}$ достигается проще.

Проиллюстрируем эти закономерности на простом примере. Рассмотрим экспоненциальную интегральную функцию:
${ displaystyle operatorname {Ei} (y) = int _ {- infty} ^ {y} e ^ { zeta} zeta ^ {- 1} d { zeta}, y <0}$ .

Интегрируя по частям, получаем следующее асимптотическое разложение
${ displaystyle operatorname {Ei} (y) sim e ^ {y} sum _ {n = 1} ^ { infty} (n-1)! y ^ {- n}, ; y}$ → ${ displaystyle - infty}$ .

Положить ${ displaystyle f (x) = - e-y operatorname {Ei} (y)}$ , ${ displaystyle y = -x-1}$ . Вычисление частичных сумм этого ряда и значений ${ Displaystyle Delta _ {N} (х)}$ и ${ displaystyle f (x)}$ для разных ${ displaystyle x}$ дает:

  ${ displaystyle x}$ 	 ${ displaystyle f (x)}$       ${ displaystyle Delta _ {1}}$        ${ displaystyle Delta _ {2}}$        ${ displaystyle Delta _ {3}}$        ${ displaystyle Delta _ {4}}$        ${ displaystyle Delta _ {5}}$ 	 ${ displaystyle Delta _ {6}}$        ${ displaystyle Delta _ {7}}$  1/3	0.262	0.071	0.040	0.034	0.040	0.060	0.106	0.223 1/5	0.171	0.029	0.011	0.006	0.004	0.0035	0.0040	0.0043 1/7	0.127	0.016	0.005	0.002	0.001	0.0006	0.0005	0.0004

Таким образом, при заданном ${ displaystyle x}$ , точность сначала увеличивается с ростом ${ displaystyle N}$ а затем убывает (так что есть асимптотическое разложение). Для данного ${ displaystyle N}$ , можно наблюдать улучшение точности с уменьшением ${ displaystyle x}$ .

Наконец, стоит ли использовать асимптотический анализ, если компьютеры и численные методы достигли такого продвинутого состояния? В качестве Д. Г. Крайтон упомянул,^[5]

Разработка вычислительных или экспериментальных схем без учета асимптотической информации в лучшем случае расточительна, а в худшем - опасна из-за возможной неспособности идентифицировать критические (жесткие) особенности процесса и их локализацию в пространстве координат и параметров. Более того, весь опыт показывает, что асимптотические решения численно полезны далеко за пределами их номинального диапазона применимости и часто могут использоваться напрямую, по крайней мере, на этапе предварительного проектирования продукта, например, избавляя от необходимости точных вычислений до финальной стадии проектирования, когда многие переменные были ограничены узкими диапазонами.

Примечания

^ Крускал М.Д., «Асимптотология», в кн. Математические модели в физических науках (ред. С. Дробот и П. А. Виброк), Труды конференции в Университете Нотр-Дам, 1962 г. (Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1963) 17-48. (препринт версия)
^ Баранцев Р.Г., «Асимптотическая математика против классической», Темы математического анализа, под редакцией Th. М. Рассиас, Всемирный научный: 1989, 49–64.
^ Будущее математики
^ Арнольд, В. (1994), «Основные понятия», Динамические системы V (редактор - Арнольд В.И.), Springer, 207-215
^ Крайтон, Д. Г., «Асимптотика - незаменимое дополнение к мышлению, вычислениям и экспериментам в прикладном математическом моделировании». В Труды Седьмого Евр. Конф. Математика. в промышленности (2–6 марта 1993 г., Монтекатини-Терме). A.Fasano, M.Primicerio (ред.) Штутгарт: B.G. Тойбнер, 3-19.