Уравнение Блэка – Шоулза - Black–Scholes equation

В математические финансы, то Уравнение Блэка – Шоулза это уравнение в частных производных (PDE), определяющий динамику цен Европейский звонок или же Европейский пут под Модель Блэка – Шоулза. Вообще говоря, термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества опции или, в более общем смысле, производные.

Моделирование геометрических броуновских движений с параметрами из рыночных данных

Для европейского колла или опциона на покупку базовой акции, не приносящей дивидендов, уравнение выглядит следующим образом:

${displaystyle {frac {partial V} {partial t}} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2} {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2} }} + rS {frac {partial V} {partial S}} - rV = 0}$

куда V цена опциона как функция цены акции S и время т, р безрисковая процентная ставка, и ${displaystyle sigma}$ это волатильность акции.

Ключевое финансовое понимание этого уравнения состоит в том, что в предположении модели рынок без трения, можно прекрасно живая изгородь опцион путем покупки и продажи лежащий в основе актив правильно и, следовательно, «устраняет риск». Это хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна правильная цена для опциона, возвращаемая Формула Блэка – Шоулза.

Финансовая интерпретация PDE Блэка – Шоулза

Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:

${displaystyle {frac {partial V} {partial t}} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2} {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2} }} = rV-rS {frac {частичный V} {частичный S}}}$

Левая часть состоит из члена «временного спада», изменения производной величины по времени, называемого тета, и член, содержащий вторую пространственную производную гамма, выпуклость производной стоимости по отношению к базовой стоимости. Правая часть - это безрисковый доход от длинной позиции по производному инструменту и короткой позиции, состоящей из ${displaystyle {frac {partial V} {partial S}}}$ акции базового актива.

Понимание Блэка и Скоулза состоит в том, что портфель, представленный правой частью, безрисковый: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма тета и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно отрицательна, отражая потерю стоимости из-за меньшего времени для исполнения опциона (для европейского колла по базовому активу без дивидендов оно всегда отрицательно). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает выигрыш от владения опционом. Уравнение утверждает, что на любом бесконечно малом временном интервале потери от тета и выгоды от гамма-члена компенсируют друг друга, так что результатом является доходность без риска.

С точки зрения эмитента опциона, например инвестиционный банк, гамма-термин - это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма максимальна, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, в этом случае затраты продавца на хеджирование являются наибольшими.)

Вывод PDE Блэка – Шоулза

Следующий вывод дан в Халла Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты.^{[1]:287–288} Это, в свою очередь, основано на классическом аргументе в оригинальной статье Блэка – Шоулза.

В соответствии с допущениями модели, приведенными выше, цена базовый актив (обычно акции) следует за геометрическое броуновское движение. То есть

${displaystyle {frac {dS} {S}} = mu, dt + sigma, dW,}$

куда W - стохастическая переменная (Броуновское движение ). Обратите внимание, что W, и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW, представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен акций. Интуитивно W(т) это процесс который "покачивается вверх и вниз" случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его отклонение через некоторое время Т равно Т; видеть Винеровский процесс § Основные свойства ); хороший дискретный аналог для W это простое случайное блуждание. Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение μ dt и дисперсия ${displaystyle sigma ^ {2} dt}$.

Выплата опциона ${displaystyle V (S, T)}$ по зрелости известно. Чтобы найти его ценность в более раннее время, нам нужно знать, как ${displaystyle V}$ развивается как функция ${displaystyle S}$ и ${displaystyle t}$. К Лемма Ито для двух переменных имеем

${displaystyle dV = left (mu S {frac {partial V} {partial S}}} + {frac {partial V} {partial t}} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2 } {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2}}} ight) dt + sigma S {frac {partial V} {partial S}}, dW}$

Теперь рассмотрим определенный портфель, называемый дельта-хеджирование портфель, состоящий из короткого одного опциона и длинного ${displaystyle {frac {partial V} {partial S}}}$ акции на время ${displaystyle t}$. Стоимость этих активов составляет

${displaystyle Pi = -V + {frac {partial V} {partial S}} S}$

За период времени ${displaystyle [t, t + Delta t]}$, общая прибыль или убыток от изменений стоимости владений составляет (но см. примечание ниже):

${displaystyle Delta Pi = -Delta V + {frac {partial V} {partial S}}, Delta S}$

Теперь дискретизируйте уравнения для dS/S и dV заменой дифференциалов на дельты:

${displaystyle Delta S = mu S, Delta t + sigma S, Delta W,}$

${displaystyle Delta V = left (mu S {frac {partial V} {partial S}}} + {frac {partial V} {partial t}} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ { 2} {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2}}} ight) Delta t + sigma S {frac {partial V} {partial S}}, Delta W}$

и соответствующим образом подставим их в выражение для ${displaystyle Delta Pi}$:

${displaystyle Delta Pi = left (- {frac {partial V} {partial t}} - {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2} {frac {partial ^ {2} V} { частичный S ^ {2}}} ight) Delta t}$

Обратите внимание, что ${displaystyle Delta W}$ срок исчез. Таким образом, была устранена неопределенность, и портфель стал практически безрисковым. Ставка доходности этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае были бы возможности для арбитража. Если предположить, что безрисковая норма доходности равна ${displaystyle r}$ мы должны иметь за период времени ${displaystyle [t, t + Delta t]}$

${displaystyle rPi, Delta t = Delta Pi}$

Если мы теперь приравняем наши две формулы для ${displaystyle Delta Pi}$ мы получаем:

${displaystyle left (- {frac {partial V} {partial t}} - {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2} {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2}}} ight) Delta t = rleft (-V + S {frac {partial V} {partial S}} ight) Delta t}$

Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению в частных производных Блэка – Шоулза:

${displaystyle {frac {partial V} {partial t}} + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} S ^ {2} {frac {partial ^ {2} V} {partial S ^ {2} }} + rS {frac {partial V} {partial S}} - rV = 0}$

С допущениями модели Блэка – Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, пока его функция цены ${displaystyle V}$ дважды дифференцируема по ${displaystyle S}$ и один раз в отношении ${displaystyle t}$. Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выплаты по истечении срока и соответствующих граничных условий.

Техническое примечание: Тонкость, скрываемая вышеизложенным подходом к дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля было вызвано только бесконечно малыми изменениями в стоимости удерживаемых активов, а не изменениями позиций в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель самофинансирование.^{[нужна цитата ]}

Альтернативное происхождение

Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шрива, том II).

В модели Блэка – Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную с точки зрения риска вероятностную меру, цена базовой акции S(т) предполагается развиваться как геометрическое броуновское движение:

${displaystyle {frac {dS (t)} {S (t)}} = r dt + sigma dW (t)}$

Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что динамика курса акций Марковский, любая производная от этого базового актива является функцией времени т и курс акций на текущий момент, S(т). Тогда применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной ${displaystyle exp (-rt) V (t, S (t))}$, который должен быть мартингейлом. Для этого необходимо, чтобы дрейфовый член был равен нулю, что подразумевает PDE Блэка-Шоулза.

Этот вывод в основном является применением Формула Фейнмана-Каца и может быть предпринята всякий раз, когда базовые активы развиваются в соответствии с заданными SDE.

Решение PDE Блэка – Шоулза

После того, как УЧП Блэка – Шоулза с граничными и терминальными условиями выведено для производной, УЧП может быть решено численно с использованием стандартных методов численного анализа,^[2] например, тип метод конечных разностей.^[3] В некоторых случаях можно найти точную формулу, например, в случае европейского звонка, который был сделан Блэком и Скоулзом.

Чтобы сделать это для опциона колл, напомним, что в приведенном выше PDE граничные условия

${displaystyle {egin {align} C (0, t) & = 0 {ext {for all}} t C (S, t) & ightarrow S {ext {as}} Sightarrow infty C (S, T) & = макс {SK, 0} конец {выровнено}}}$

Последнее условие дает значение опциона на момент его погашения. Возможны другие условия как S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, заключаются в выборе исчезновения дельты как S переходит в 0 и гамма исчезает, как S уходит в бесконечность; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую проницательность, чтобы выбрать подходящие условия для данной ситуации).

Решение PDE дает значение опциона в любое более раннее время, ${displaystyle mathbb {E} left [max {S-K, 0} ight]}$. Чтобы решить PDE, мы признаем, что это Уравнение Коши – Эйлера который можно преобразовать в уравнение диффузии введя преобразование замены переменной

${displaystyle {egin {выравнивается} au & = Tt u & = Ce ^ {r au} x & = ln left ({frac {S} {K}} ight) + left (r- {frac {1} {2}) } сигма ^ {2} ight) до конца {выровнено}}}$

Тогда PDE Блэка – Шоулза становится уравнение диффузии

${displaystyle {frac {partial u} {partial au}} = {frac {1} {2}} sigma ^ {2} {frac {partial ^ {2} u} {partial x ^ {2}}}}$

Конечное состояние ${displaystyle C (S, T) = max {S-K, 0}}$ теперь становится начальным условием

${displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x): = K (e ^ {max {x, 0}} - 1) = Kleft (e ^ {x} -1ight) H (x)}$,

куда ЧАС(Икс) это Ступенчатая функция Хевисайда. Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в S, т система координат, которая требует, когда т = Т,

${displaystyle C (S ,, T) = 0quad forall ;; S$,

при условии, что оба S, K > 0. В этом предположении он эквивалентен функции max по всем Икс в реальных числах, за исключением Икс = 0. Приведенное выше равенство между Максимум функция и функция Хевисайда в смысле распределений, потому что это не выполняется для Икс = 0. Хотя это и неуловимо, это важно, поскольку функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при Икс = 0 или даже определен в этом отношении. Подробнее о значении функции Хевисайда см. Икс = 0, см. Раздел «Нулевой аргумент» в статье Ступенчатая функция Хевисайда.

Используя стандартный свертка метод решения уравнение диффузии с учетом функции начального значения, ты(Икс, 0) имеем

${displaystyle u (x, au) = {frac {1} {sigma {sqrt {2pi au}}}} int _ {- infty} ^ {infty} {u_ {0} (y) exp {left [- {frac {(xy) ^ {2}} {2sigma ^ {2} au}} ight]}}, dy}$,

что после некоторых манипуляций дает

${displaystyle u (x, au) = Ke ^ {x + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} au} N (d_ {1}) - KN (d_ {2})}$ ,

куда ${displaystyle N (cdot)}$ это стандартный нормальный кумулятивная функция распределения и

${displaystyle {egin {align} d_ {1} & = {frac {1} {sigma {sqrt {au}}}} left [left (x + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} au ight) + {frac {1} {2}} sigma ^ {2} au ight] d_ {2} & = {frac {1} {sigma {sqrt {au}}}} left [left (x + {frac {1}) {2}} sigma ^ {2} au ight) - {frac {1} {2}} sigma ^ {2} au ight] .end {выровнено}}}$

Это те же решения (с точностью до перевода времени), которые были получены Фишером Блэком в 1976 г., уравнения (16) с. 177.^[4]

Возврат ${displaystyle u, x, au}$ к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза.

Теперь можно выполнить асимптотическое условие.

${displaystyle u (x ,, au) {overset {xightsquigarrow infty} {asymp}} Ke ^ {x},}$

что дает просто S при возврате к исходным координатам.

${displaystyle lim _ {x o infty} N (x) = 1}$.

Рекомендации