Ограничивающая сфера - Википедия - Bounding sphere

Некоторые экземпляры наименьший ограничивающий круг, случай ограничивающей сферы в 2 измерениях.

В математика, учитывая непустое множество объектов конечного расширения в ${ displaystyle d}$ -размерный Космос, например, набор точек, ограничивающая сфера, охватывающий шар или же ограждающий мяч для этого набора ${ displaystyle d}$ -размерный твердая сфера содержащий все эти объекты.

Используется в компьютерная графика и вычислительная геометрия, ограничивающая сфера - это особый тип ограничивающий объем. Существует несколько быстрых и простых алгоритмов построения ограничивающей сферы, имеющих высокую практическую ценность в приложениях компьютерной графики в реальном времени.^[1]

В статистика и исследование операций, объекты обычно являются точками, и обычно сфера интересов - это минимальная ограничивающая сфера, то есть сфера с минимальным радиусом среди всех ограничивающих сфер. Можно доказать, что такая сфера уникальна: если их два, то рассматриваемые объекты лежат в пределах их пересечения. Но пересечение двух несовпадающих сфер равного радиуса содержится в сфере меньшего радиуса.

Проблема вычисления центра минимальной ограничивающей сферы также известна как «невзвешенная евклидова 1-центровая проблема ".

Приложения

Кластеризация

Такие сферы полезны в кластеризация, где группы похожих точек данных классифицируются вместе.

В статистический анализ то рассеяние из точки данных внутри сферы можно отнести к погрешность измерения или естественные (обычно тепловые) процессы, и в этом случае кластер представляет собой возмущение идеальной точки. В некоторых случаях эта идеальная точка может использоваться вместо точек в кластере, что позволяет сократить время вычислений.

В исследование операций кластеризация значений в идеальную точку также может использоваться для уменьшения количества входов, чтобы получить приблизительные значения для NP-жесткий проблемы в разумные сроки. Выбранная точка обычно не является центром сферы, так как это может быть смещено выбросами, а вместо этого является неким средним местоположением, таким как наименьших квадратов точка вычисляется для представления кластера.

Алгоритмы

Существуют точный и приближенный алгоритмы решения задачи ограничивающей сферы.

Линейное программирование

Нимрод Мегиддо широко изучали проблему 1-центра и публиковали по ней не менее пяти раз в 1980-х годах.^[2] В 1983 году он предложил "обрезать и искать "алгоритм, который находит оптимальную ограничивающую сферу и работает за линейное время, если размерность фиксирована как константа. Когда размерность принимается во внимание, сложность времени выполнения составляет ${ Displaystyle О ((d + 1) (d + 1)! n)}$ , непрактично для приложений большой размерности. Мегиддо использовал этот подход линейного программирования в линейном времени, когда размерность фиксирована.

В 1991 г. Эмо Вельцль предложил гораздо более простой рандомизированный алгоритм основанный на расширении рандомизированного линейное программирование алгоритм Раймунд Зайдель. Он работает с ожидаемым линейным временем. В статье представлены экспериментальные результаты, демонстрирующие его практичность в более высоких измерениях.^[3]

Открытый исходный код Библиотека алгоритмов вычислительной геометрии (CGAL) содержит реализацию этого алгоритма.^[4]

Ограничивающая сфера Риттера

В 1990 году Джек Риттер предложил простой алгоритм поиска неминимальной ограничивающей сферы.^[5] Он широко используется в различных приложениях из-за своей простоты. Алгоритм работает так:

Выберите точку ${ displaystyle x}$ из ${ displaystyle P}$ , найдите точку ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle P}$ , имеющий наибольшее расстояние от ${ displaystyle x}$ ;
Искать точку ${ displaystyle z}$ в ${ displaystyle P}$ , имеющий наибольшее расстояние от ${ displaystyle y}$ . Установить начальный мяч ${ displaystyle B}$ , с центром в середине ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle z}$ , радиус как половина расстояния между ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle z}$ ;
Если все точки в ${ displaystyle P}$ находятся в пределах шара ${ displaystyle B}$ , то получаем ограничивающую сферу. В противном случае пусть ${ displaystyle p}$ быть точкой вне шара, построить новый шар, охватывающий обе точки ${ displaystyle p}$ и предыдущий бал. Повторяйте этот шаг, пока не будут покрыты все точки.

Алгоритм Риттера работает во времени ${ Displaystyle О (nd)}$ на входах, состоящих из ${ displaystyle n}$ указывает в ${ displaystyle d}$ -мерное пространство, что делает его очень эффективным. Однако он дает только грубый результат, который обычно на 5-20% больше оптимального.^{[нужна цитата ]}

Приближение на основе базового набора

Bădoiu et al. представил ${ displaystyle 1+ varepsilon}$ приближение к задаче об ограничивающей сфере,^[6] где ${ displaystyle 1+ varepsilon}$ аппроксимация означает, что построенная сфера имеет радиус не более ${ displaystyle (1+ varepsilon) r}$ , куда ${ displaystyle r}$ - наименьший возможный радиус ограничивающей сферы.

А Coreset небольшое подмножество, что ${ displaystyle 1+ varepsilon}$ разложение решения на подмножество является ограничивающей сферой всего множества. Базовый набор создается постепенно путем добавления самой дальней точки в набор на каждой итерации.

Kumar et al. улучшил этот алгоритм приближения^[7] чтобы он работал вовремя ${ Displaystyle О ({ гидроразрыва {nd} { epsilon}} + { гидроразрыва {1} { epsilon ^ {4.5}}} log { frac {1} { epsilon}})}$ .

Точный решатель Фишера

Fischer et al. (2003) предложил точный решатель, хотя в худшем случае алгоритм не имеет полиномиального времени работы.^[8] Алгоритм является чисто комбинаторным и реализует схему поворота, аналогичную алгоритму симплексный метод за линейное программирование, ранее использовавшийся в некоторых эвристиках. Он начинается с большой сферы, которая покрывает все точки, и постепенно сжимается до тех пор, пока не станет невозможной. В алгоритме предусмотрены правильные правила завершения в случаях вырождения, упущенного предыдущими авторами; и эффективное управление частичными решениями, что значительно ускоряет работу. Авторы подтвердили, что алгоритм эффективен на практике в малых и умеренно малых (до 10 000) измерениях, и утверждают, что он не проявляет проблем с числовой стабильностью при операциях с плавающей запятой.^[8] Реализация алгоритма на C ++ доступна как проект с открытым исходным кодом.^[9]

Экстремальные точки Оптимальная сфера

Ларссон (2008) для решения задачи об ограничивающей сфере предложен метод «оптимальной сферы с экстремальными точками» с управляемым приближением скорости к точности. Этот метод работает, если взять набор ${ displaystyle s}$ векторов направления и проецирования всех точек на каждый вектор в ${ displaystyle s}$ ; ${ displaystyle s}$ служит в качестве альтернативы скорости и точности. Точный решатель применяется к ${ displaystyle 2s}$ экстремальные точки этих проекций. Затем алгоритм перебирает оставшиеся точки, если таковые имеются, при необходимости увеличивая сферу. Для больших ${ displaystyle n}$ этот метод на порядки быстрее точных методов, но дает сопоставимые результаты. Это худшее время ${ displaystyle O (sn)}$ . ^[1]

Смотрите также

внешняя ссылка

Задача о наименьшем окружающем круге - описывает несколько алгоритмов включения набора точек, включая алгоритм линейного времени Мегиддо

[epos-1] а ^б Ларссон, Томас (2008), «Быстро и плотно прилегающие ограничивающие сферы», SIGRAD 2008: Ежегодная конференция SIGRAD, Специальная тема: Взаимодействие, 27-28 ноября 2008 г., Стокгольм, Швеция, Linköping Electronic Conference Proceedings, 34, Линчёпинг, Швеция: Университет Линчёпинга

[2] ttp://theory.stanford.edu/~megiddo/bio.html

[welzl92-3] Вельцль, Эмо (1991), «Наименьшие окружающие диски (шары и эллипсоиды)», в Maurer, Hermann (ed.), Новые результаты и новые тенденции в компьютерных науках: Грац, Австрия, 20–21 июня 1991 г., Труды (PDF), Конспект лекций по информатике, 555, Берлин, Германия: Springer, стр. 359–370, Дои:10.1007 / BFb0038202, МИСТЕР 1254721

[4] CGAL 4.3 - Граничные объемы - Min_sphere_of_spheres_d, получено 30 марта 2014.

[Ritter1990-5] Риттер, Джек (1990), «Эффективная ограничивающая сфера», в Гласснер, Эндрю С. (ред.), Графика Самоцветы, Сан-Диего, Калифорния, США: Academic Press Professional, Inc., стр. 301–303, ISBN 0-12-286166-3

[Badoiu2002-6] Бадою, Михай; Хар-Пелед, Сариэль; Индик, Петр (2002), «Примерная кластеризация по core-сетам» (PDF), Труды тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 250–257, Дои:10.1145/509907.509947, МИСТЕР 2121149, S2CID 5409535

[kumar2003-7] Кумар, Пиюш; Митчелл, Джозеф С. Б.; Йылдырым, Э. Альпер (2003), «Вычисление базовых наборов и приблизительных наименьших охватывающих гиперсфер в больших измерениях», в Ладнер, Ричард Э. (ред.), Труды пятого семинара по разработке алгоритмов и экспериментам, Балтимор, Мэриленд, США, 11 января 2003 г., Филадельфия, Пенсильвания, США: SIAM, стр. 45–55

[Fischer2003-8] а ^б Фишер, Каспар; Гертнер, Бернд; Куц, Мартин (2003), «Быстрое вычисление наименьшего охватывающего шара в больших измерениях» (PDF)в Баттисте - Джузеппе Ди; Цвик, Ури (ред.), Алгоритмы: ESA 2003, 11-й ежегодный европейский симпозиум, Будапешт, Венгрия, 16-19 сентября 2003 г., Материалы (PDF), Конспект лекций по информатике, 2832, Springer, Berlin, стр. 630–641, Дои:10.1007/978-3-540-39658-1_57

[9] проект с открытым исходным кодом miniball

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]