Лемма Брамбла – Гильберта - Википедия - Bramble–Hilbert lemma

В математика, особенно числовой анализ, то Брамбл – Гильберт лемма, названный в честь Джеймс Х. Брамбл и Стивен Гильберт, ограничивает ошибка из приближение из функция ${ displaystyle textstyle u}$ по многочлен порядка максимум ${ displaystyle textstyle m-1}$ с точки зрения производные из ${ displaystyle textstyle u}$ порядка ${ displaystyle textstyle m}$ . И ошибка приближения, и производные от ${ displaystyle textstyle u}$ измеряются ${ displaystyle textstyle L ^ {p}}$ нормы на ограниченный домен в ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Это похоже на классический численный анализ, где, например, ошибка линейная интерполяция ${ displaystyle textstyle u}$ можно ограничить, используя вторую производную от ${ displaystyle textstyle u}$ . Однако лемма Брамбла – Гильберта применима в любом количестве измерений, а не только в одном измерении, а ошибка приближения и производные от ${ displaystyle textstyle u}$ измеряются более общими нормами, включающими средние значения, а не только максимальная норма.

Для выполнения леммы Брамбла – Гильберта необходимы дополнительные предположения относительно области определения. По сути, граница домена должно быть "разумным". Например, исключаются домены с острием или щелью с нулевым углом на вершине. Липшицевы домены достаточно разумны, в том числе выпуклый домены и домены с непрерывно дифференцируемый граница.

Основное применение леммы Брамбла – Гильберта - доказательство оценок погрешности интерполяции функции ${ displaystyle textstyle u}$ оператором, сохраняющим многочлены порядка до ${ displaystyle textstyle m-1}$ , через производные от ${ displaystyle textstyle u}$ порядка ${ displaystyle textstyle m}$ . Это важный шаг в оценке ошибок для метод конечных элементов. Там лемма Брамбла – Гильберта применяется к области, состоящей из одного элемента (или, в некоторой сверхконвергенция результаты, небольшое количество элементов).

Одномерный случай

Прежде чем формулировать лемму в полной общности, полезно рассмотреть несколько простых частных случаев. В одном измерении и для функции ${ displaystyle textstyle u}$ который имеет ${ displaystyle textstyle m}$ производные на интервале ${ Displaystyle textstyle влево (а, б вправо)}$ , лемма сводится к

{ displaystyle inf _ {v in P_ {m-1}} { bigl Vert} u ^ { left (k right)} - ​​v ^ { left (k right)} { bigr Vert} _ {L ^ {p} left (a, b right)} leq C left (m right) left (ba right) ^ {mk} { bigl Vert} u ^ { left (m right)} { bigr Vert} _ {L ^ {p} left (a, b right)},}

куда ${ displaystyle textstyle P_ {m-1}}$ является пространством всех многочленов порядка не выше ${ displaystyle textstyle m-1}$ .

В случае, когда ${ displaystyle textstyle p = infty}$ , ${ displaystyle textstyle m = 2}$ , ${ displaystyle textstyle k = 0}$ , и ${ displaystyle textstyle u}$ дважды дифференцируема, это означает, что существует многочлен ${ displaystyle textstyle v}$ степени один такой, что для всех ${ displaystyle textstyle x in left (a, b right)}$ ,

{ displaystyle left vert u left (x right) -v left (x right) right vert leq C left (ba right) ^ {2} sup _ { left (a , b right)} left vert u ^ { prime prime} right vert.}

Это неравенство также следует из известной оценки погрешности линейной интерполяции при выборе ${ displaystyle textstyle v}$ как линейный интерполянт ${ displaystyle textstyle u}$ .

Утверждение леммы

^{[сомнительный – обсуждать]}

Предполагать ${ displaystyle textstyle Omega}$ ограниченная область в ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ , ${ displaystyle textstyle п geq 1}$ , с границей ${ displaystyle textstyle partial Omega}$ и диаметр ${ displaystyle textstyle d}$ . ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {k} ( Omega)}$ это Соболевское пространство всех функций ${ displaystyle textstyle u}$ на ${ displaystyle textstyle Omega}$ с слабые производные ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha} u}$ порядка ${ displaystyle textstyle left vert alpha right vert}$ вплоть до ${ displaystyle textstyle k}$ в ${ displaystyle textstyle L ^ {p} ( Omega)}$ . Здесь, ${ displaystyle textstyle alpha = left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {n} right)}$ это мультииндекс, ${ displaystyle textstyle left vert alpha right vert =}$ ${ displaystyle textstyle alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}}$ и ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha}}$ обозначает производную ${ displaystyle textstyle alpha _ {1}}$ раз относительно ${ displaystyle textstyle x_ {1}}$ , ${ displaystyle textstyle alpha _ {2}}$ раз относительно ${ displaystyle textstyle x_ {2}}$ , и так далее. Полунорма Соболева на ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ состоит из ${ displaystyle textstyle L ^ {p}}$ нормы высших производных,

{ displaystyle left vert u right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)} = left ( sum _ { left vert alpha right vert = m} left Vert D ^ { alpha} u right Vert _ {L ^ {p} ( Omega)} ^ {p} right) ^ {1 / p} { text {if}} 1 leq p < infty}

и

{ displaystyle left vert u right vert _ {W _ { infty} ^ {m} ( Omega)} = max _ { left vert alpha right vert = m} left Vert D ^ { alpha} u right Vert _ {L ^ { infty} ( Omega)}}

${ displaystyle textstyle P_ {k}}$ - пространство всех многочленов порядка до ${ displaystyle textstyle k}$ на ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Обратите внимание, что ${ displaystyle textstyle D ^ { alpha} v = 0}$ для всех ${ displaystyle textstyle v in P_ {m-1}}$ и ${ displaystyle textstyle left vert alpha right vert = m}$ , так ${ displaystyle textstyle left vert u + v right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)}}$ имеет одинаковое значение для любого ${ displaystyle textstyle v in P_ {m-1}}$ .

Лемма (Брамбл и Гильберт) При дополнительных предположениях относительно области ${ displaystyle textstyle Omega}$ , указанная ниже, существует константа ${ Displaystyle textstyle С = С влево (м, Омега вправо)}$ независим от ${ displaystyle textstyle p}$ и ${ displaystyle textstyle u}$ такой, что для любого ${ Displaystyle textstyle и в W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ существует многочлен ${ displaystyle textstyle v in P_ {m-1}}$ такой, что для всех ${ displaystyle textstyle к = 0, ldots, m,}$

{ displaystyle left vert uv right vert _ {W_ {p} ^ {k} ( Omega)} leq Cd ^ {mk} left vert u right vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega)}.}

Исходный результат

Лемма была доказана Брамблом и Гильбертом. ^[1] в предположении, что ${ displaystyle textstyle Omega}$ удовлетворяет свойство сильного конуса; то есть существует конечное открытое покрытие ${ displaystyle textstyle left {O_ {i} right }}$ из ${ displaystyle textstyle partial Omega}$ и соответствующие конусы ${ displaystyle textstyle {C_ {i} }}$ с вершинами в начале координат такими, что ${ Displaystyle textstyle х + C_ {я}}$ содержится в ${ displaystyle textstyle Omega}$ для любого ${ displaystyle textstyle x}$ ${ displaystyle textstyle in Omega cap O_ {i}}$ .

Формулировка леммы здесь является простой переписыванием правого неравенства, сформулированного в теореме 1 в.^[1] Фактическое заявление в ^[1] в том, что норма факторного пространства ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega) / P_ {m-1}}$ эквивалентен ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ полунорм. В ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ норма не обычная, но термины масштабируются с ${ displaystyle textstyle d}$ так что правое неравенство в эквивалентности полунорм получается точно так же, как в формулировке здесь.

В исходном результате выбор полинома не оговаривается, а значение константы и ее зависимость от области определения ${ displaystyle textstyle Omega}$ не может быть определено из доказательства.

Конструктивная форма

Альтернативный результат был дан Дюпоном и Скоттом. ^[2] в предположении, что область ${ displaystyle textstyle Omega}$ является звездообразный; то есть существует шар ${ displaystyle textstyle B}$ такой, что для любого ${ displaystyle textstyle x in Omega}$ закрытый выпуклый корпус из ${ displaystyle textstyle left {x right } чашка B}$ это подмножество ${ displaystyle textstyle Omega}$ . Предположим, что ${ displaystyle textstyle rho _ { max}}$ - супремум диаметров таких шаров. Соотношение ${ displaystyle textstyle gamma = d / rho _ { max}}$ называется кусочком ${ displaystyle textstyle Omega}$ .

Тогда лемма верна с постоянной ${ Displaystyle textstyle С = С влево (т, п, гамма вправо)}$ , то есть постоянная зависит от области ${ displaystyle textstyle Omega}$ только из-за своей крупности ${ displaystyle textstyle gamma}$ и размер пространства ${ displaystyle textstyle n}$ . Кроме того, ${ displaystyle v}$ можно выбрать как ${ displaystyle v = Q ^ {m} u}$ , куда ${ displaystyle textstyle Q ^ {m} u}$ является усредненным Полином Тейлора, определяется как

{ displaystyle Q ^ {m} u = int _ {B} T_ {y} ^ {m} u left (x right) psi left (y right) , dx,}

куда

{ displaystyle T_ {y} ^ {m} u left (x right) = sum limits _ {k = 0} ^ {m-1} sum limits _ { left vert alpha right vert = k} { frac {1} { alpha!}} D ^ { alpha} u left (y right) left (xy right) ^ { alpha}}

- многочлен Тейлора степени не выше ${ displaystyle textstyle m-1}$ из ${ displaystyle textstyle u}$ сосредоточен на ${ displaystyle textstyle y}$ оценивается в ${ displaystyle textstyle x}$ , и ${ displaystyle textstyle psi geq 0}$ - функция, имеющая производные всех порядков, равные нулю вне ${ displaystyle textstyle B}$ , и такой, что

{ displaystyle int _ {B} psi , dx = 1.}

Такая функция ${ displaystyle textstyle psi}$ всегда существует.

Дополнительные сведения и учебное пособие см. В монографии автора Бреннер и Скотт.^[3] Результат можно распространить на случай, когда домен ${ displaystyle textstyle Omega}$ представляет собой объединение конечного числа звездчатых областей, что немного более общее, чем свойство сильного конуса, и других полиномиальных пространств, чем пространство всех многочленов до заданной степени.^[2]

Связанные с линейными функционалами

Этот результат непосредственно следует из приведенной выше леммы, и его также иногда называют леммой Брамбла – Гильберта, например Ciarlet.^[4] По сути, это теорема 2 из.^[1]

Лемма Предположим, что ${ displaystyle textstyle ell}$ это непрерывный линейный функционал на ${ displaystyle textstyle W_ {p} ^ {m} ( Omega)}$ и ${ displaystyle textstyle left Vert ell right Vert _ {W_ {p} ^ {m} ( Omega) ^ {^ { prime}}}}$ это двойная норма. Предположим, что ${ displaystyle textstyle ell left (v right) = 0}$ для всех ${ displaystyle textstyle v in P_ {m-1}}$ . Тогда существует постоянная ${ Displaystyle textstyle С = С влево ( Омега вправо)}$ такой, что