Уравнение Кана – Хиллиарда - Cahn–Hilliard equation

В Уравнение Кана – Хиллиарда (после Джон В. Кан и Джон Э. Хиллиард ) является уравнение из математическая физика который описывает процесс фаза разделение, при котором два компонента бинарной жидкости спонтанно разделяются и образуют домены, чистые в каждом компоненте. Если ${displaystyle c}$ - концентрация жидкости, при этом ${displaystyle c = pm 1}$ с указанием областей, то уравнение записывается как

${displaystyle {frac {partial c} {partial t}} = Dabla ^ {2} left (c ^ {3} -c-gamma abla ^ {2} cight),}$

куда ${displaystyle D}$ это распространение коэффициент с единицами ${displaystyle {ext {Length}} ^ {2} / {ext {Time}}}$ и ${displaystyle {sqrt {gamma}}}$ дает длину переходных областей между доменами. Здесь ${displaystyle partial / {partial t}}$ - частная производная по времени и ${displaystyle abla ^ {2}}$ это Лапласиан в ${displaystyle n}$ размеры. Дополнительно количество ${displaystyle mu = c ^ {3} -c-gamma abla ^ {2} c}$ определяется как химический потенциал.

С этим связан Уравнение Аллена – Кана, а также стохастическое уравнение Кана – Хиллиарда и стохастическое уравнение Аллена – Кана.

Возможности и приложения

Математиков интересует существование единственного решения уравнения Кана – Хиллиарда, заданного гладкими начальными данными. Доказательство основывается главным образом на существовании Ляпуновский функционал. В частности, если мы определим

${displaystyle F [c] = int d ^ {n} xleft [{frac {1} {4}} left (c ^ {2} -1ight) ^ {2} + {frac {gamma} {2}} left | abla cight | ^ {2} ight],}$

как функционал свободной энергии, то

${displaystyle {frac {dF} {dt}} = - int d ^ {n} xleft | abla mu ight | ^ {2},}$

так что свободная энергия не растет со временем. Это также указывает на то, что сегрегация по доменам является асимптотический результат эволюции этого уравнения.

В реальных экспериментах наблюдается сегрегация изначально смешанной бинарной жидкости на домены. Для сегрегации характерны следующие факты.

Эволюция случайных начальных данных по уравнению Кана – Хиллиарда с ${displaystyle gamma = 0,5}$ и ${displaystyle C = 0}$, демонстрируя разделение фаз.

• Между сегрегированными доменами существует переходный слой, профиль которого задается функцией ${displaystyle c (x) = anh left ({frac {x} {sqrt {2gamma}}} ight),}$ и, следовательно, типичная ширина ${displaystyle {sqrt {gamma}}}$ потому что эта функция является равновесным решением уравнения Кана – Хилларда.
• Интересен также тот факт, что сегрегированные домены растут во времени по степенному закону. То есть, если ${displaystyle L (t)}$ типичный размер домена, то ${displaystyle L (t) propto t ^ {1/3}}$. Это закон Лифшица – Слёзова, который был строго доказан для уравнения Кана – Хиллиарда и наблюдался в численных моделированиях и реальных экспериментах с двойными жидкостями.
• Уравнение Кана – Хиллиарда имеет форму закона сохранения: ${displaystyle {frac {partial c} {partial t}} = abla cdot mathbf {j} (x),}$ с ${displaystyle mathbf {j} (x) = Dabla mu}$. Таким образом, процесс разделения фаз сохраняет общую концентрацию ${displaystyle C = int d ^ {n} xcleft (x, плотно)}$, так что ${displaystyle {frac {dC} {dt}} = 0}$.
• Когда одной фазы значительно больше, уравнение Кана-Хиллиарда может показать явление, известное как Оствальдское созревание, где неосновная фаза образует сферические капли, а капли меньшего размера поглощаются диффузией в более крупные.

Уравнения Кана – Хиллиарда находят применение в различных областях: в сложных жидкостях и мягком веществе (межфазный поток жидкости, наука о полимерах и в промышленных приложениях). Решение уравнения Кана – Хиллиарда для бинарной смеси показало, что оно хорошо совпадает с решением Проблема Стефана и модель Томаса и Виндла.^[1] В настоящее время для исследователей представляет интерес связь фазового разделения уравнения Кана – Хиллиарда с уравнением Уравнения Навье – Стокса потока жидкости.

Смотрите также

• Спинодальное разложение
• Уравнение Аллена – Кана

Рекомендации

• Кан, Джон В .; Хиллиард, Джон Э. (1958). «Свободная энергия неоднородной системы. I. Межфазная свободная энергия». Журнал химической физики. Издательство AIP. 28 (2): 258–267. Дои:10.1063/1.1744102. ISSN  0021-9606.
• Брей, А.Дж. (1994). «Теория кинетики фазового упорядочения». Успехи в физике. 43 (3): 357–459. arXiv:cond-mat / 9501089. Дои:10.1080/00018739400101505. ISSN  0001-8732. S2CID  83182.
• Чжу, Цзинчжи; Чен, Лун-Цин; Шен, Цзе; Тикаре, Вина (1999-10-01). «Кинетика укрупнения из уравнения Кана-Хилларда переменной подвижности: Применение полунявного спектрального метода Фурье». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 60 (4): 3564–3572. Дои:10.1103 / Physreve.60.3564. ISSN  1063-651X. PMID  11970189.
• Эллиотт, Чарльз М .; Сонгму, Чжэн (1986). «Об уравнении Кана-Хиллиарда». Архив рациональной механики и анализа. Springer Nature. 96 (4): 339–357. Дои:10.1007 / bf00251803. ISSN  0003-9527. S2CID  56206640.
• Areias, P .; Samaniego, E .; Рабчук, Т. (17 декабря 2015 г.). «Постепенный подход для связи диффузии типа Кана – Хилларда и упругости при конечной деформации». Вычислительная механика. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 57 (2): 339–351. Дои:10.1007 / s00466-015-1235-1. ISSN  0178-7675. S2CID  123982946.
• Хашимото, Такеджи; Мацудзака, Кацуо; Моисей, Елисей; Онуки, Акира (1995-01-02). «Фаза струны в фазоразделительных жидкостях при сдвиговом потоке». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 74 (1): 126–129. Дои:10.1103 / Physrevlett.74.126. ISSN  0031-9007. PMID  10057715.
• Т. Урселл, «Кинетика Кана – Хиллиарда и спинодальное разложение в диффузной системе», Калифорнийский технологический институт (2007).