Теорема Картана – Амвросия – Хикса - Википедия - Cartan–Ambrose–Hicks theorem

В математика, то Теорема Картана – Амброуза – Хикса. это теорема Риманова геометрия, согласно которому Риманова метрика локально определяется Тензор кривизны Римана, или другими словами, поведение тензора кривизны при параллельном переносе определяет метрику.

Теорема названа в честь Эли Картан, Уоррен Эмброуз и его аспирант Ноэль Хикс.^[1] Картан доказал местную версию. Амвросий доказал глобальную версию, которая допускает изометрии между общими Римановы многообразия с переменной кривизной, в 1956 г.^[2] Это было далее обобщено Хиксом на общие многообразия с аффинные связи в их касательные пучки, в 1959 г.^[3]

Формулировку и доказательство теоремы можно найти в ^[4]

Вступление

Позволять ${ displaystyle M, N}$ быть связными полными римановыми многообразиями. Позволять ${ displaystyle x in M, y in N}$, и разреши

${ displaystyle I: T_ {x} M rightarrow T_ {y} N}$

быть линейным изометрия. Для достаточно малых ${ displaystyle r> 0}$, то экспоненциальные карты

${ displaystyle exp _ {x}: B_ {r} (x) subset T_ {x} M rightarrow M, exp _ {y}: B_ {r} (y) subset T_ {y} N rightarrow N}$

являются локальными диффеоморфизмами. Здесь, ${ displaystyle B_ {r} (x)}$ мяч сосредоточен на ${ displaystyle x}$ радиуса ${ displaystyle r.}$ Затем определяется диффеоморфизм ${ displaystyle f: B_ {r} (x) rightarrow B_ {r} (y)}$ к

${ displaystyle f = exp _ {y} circ I circ exp _ {x} ^ {- 1}.}$

Для геодезический ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow B_ {r} (x) subset M}$ с ${ Displaystyle гамма (0) = х}$, ${ displaystyle f}$ сопоставляет его с геодезической ${ displaystyle f ( gamma): left [0, T right] rightarrow B_ {r} (y) subset N}$ с ${ Displaystyle е ( гамма) (0) = у}$,. Позволять ${ Displaystyle P _ { gamma} (т)}$быть параллельным транспортом по ${ displaystyle gamma}$ (определяется Леви-Чивита связь ), и ${ Displaystyle P_ {е ( гамма) (т)}}$ быть параллельным транспортом по ${ Displaystyle е ( гамма)}$. Затем мы определяем

${ Displaystyle I _ { gamma} (t) = P_ {f ( gamma) (t)} circ I circ P _ { gamma (t)} ^ {- 1}: T _ { gamma (t)} M rightarrow T_ {f ( gamma (t))} N}$

за ${ Displaystyle т в влево [0, Т вправо]}$.

Теорема Картана

Первоначальная теорема доказана Картан является локальной версией теоремы Картана – Амброуза – Хикса. В нем говорится, что ${ displaystyle f}$ является (локальной) изометрией, если для всех геодезических ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow B_ {r} (x) subset M}$ с ${ Displaystyle гамма (0) = х}$ и все ${ displaystyle t in [0, T], X, Y, Z in T _ { gamma (t)} M}$, у нас есть ${ Displaystyle I _ { gamma} (t) (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I _ { gamma} (t) (X), I _ { gamma} (t) (Y), I _ { gamma} (t) (Z))}$, куда ${ displaystyle R, { overline {R}}}$ являются тензорами кривизны Римана ${ displaystyle M, N}$.

Обратите внимание, что ${ displaystyle f}$ вообще не обязательно должен быть диффеоморфизмом, а только локально изометрическим карта покрытия. Тем не мение, ${ displaystyle f}$ должна быть глобальной изометрией, если ${ displaystyle N}$ просто связано.

Теорема Картана – Амброуза – Хикса.

Теорема: Для тензоров кривизны Римана ${ displaystyle R, { overline {R}}}$ и все ломаные геодезические (ломаная геодезическая - это кусочно-геодезическая кривая) ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow M}$ с ${ Displaystyle гамма (0) = х}$,

${ Displaystyle I _ { gamma} (t) (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I _ { gamma} (t) (X), I _ { gamma} (t) (Y), I _ { gamma} (t) (Z))}$

для всех ${ displaystyle t in [0, T], X, Y, Z in T _ { gamma (t)} M}$.

Тогда, если две ломаные геодезические, начинающиеся в ${ displaystyle x}$имеют ту же конечную точку, то соответствующие изломанные геодезические (отображаемые ${ displaystyle I _ { gamma}}$) в ${ displaystyle N}$ также имеют ту же конечную точку. Итак, существует карта

${ displaystyle F: M rightarrow N}$

путем сопоставления сломанных геодезических конечных точек в ${ displaystyle M}$к соответствующим геодезическим конечным точкам в ${ displaystyle N}$.

Карта ${ displaystyle F: M rightarrow N}$ является локально изометрическим накрывающим отображением.

Если ${ displaystyle N}$ тоже односвязно, то ${ displaystyle F}$ это изометрия.

Локально-симметричные пространства

Риманово многообразие называется локально симметричный если его тензор кривизны Римана инвариантен относительно параллельного переноса:

${ displaystyle nabla R = 0.}$

Односвязное риманово многообразие локально симметрично, если оно симметричное пространство.

Из теоремы Картана – Амброуза – Хикса имеем:

Теорема: Позволять ${ displaystyle M, N}$ - связные полные локально симметричные римановы многообразия, и пусть ${ displaystyle M}$ быть просто связным. Пусть их тензоры кривизны Римана равны ${ displaystyle R, { overline {R}}}$. Позволять ${ displaystyle x in M, y in N}$ и

${ displaystyle I: T_ {x} M rightarrow T_ {y} N}$

- линейная изометрия с ${ Displaystyle I (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I (X), I (Y), I (Z))}$. Тогда существует локально изометрическое накрывающее отображение

${ displaystyle F: M rightarrow N}$

с ${ Displaystyle F (х) = у}$ и ${ displaystyle D_ {x} F = I}$.

Следствие: Любое полное локально симметричное пространство имеет вид ${ displaystyle M / gamma}$ для симметричного пространства ${ displaystyle M}$и ${ Displaystyle гамма подмножество Isom (M)}$ это дискретная подгруппа изометрий ${ displaystyle M}$.

Классификация космические формы

В качестве приложения теоремы Картана – Амброуза – Хикса любое односвязное полное риманово многообразие с константой секционная кривизна ${ Displaystyle в {+ 1,0, -1 }}$ соответственно изометрично п-сфера ${ Displaystyle S ^ {п}}$, то п-Евклидово пространство ${ displaystyle E ^ {n}}$, а п-гиперболическое пространство ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$.

Рекомендации