Замкнутая выпуклая функция - Closed convex function

В математика, а функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ как говорят закрыто если для каждого ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$, то подуровневый набор${ Displaystyle {х в { mbox {дом}} е верт е (х) leq альфа }}$это закрытый набор.

Эквивалентно, если эпиграф определяется${ displaystyle { mbox {epi}} f = {(x, t) in mathbb {R} ^ {n + 1} vert x in { mbox {dom}} f, ; f ( х) leq t }}$замкнута, то функция ${ displaystyle f}$ закрыто.

Это определение действительно для любой функции, но чаще всего используется для выпуклые функции. А правильная выпуклая функция закрыто если и только если это нижний полунепрерывный.^[1] Для выпуклой функции, которая не является правильной, существуют разногласия относительно определения закрытие функции.^{[нужна цитата ]}

Свойства

• Если ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ это непрерывная функция и ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$ закрыто, то ${ displaystyle f}$ закрыто.
• Если ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ это непрерывная функция и ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$ открыто, то ${ displaystyle f}$ закрыто если и только если он сходится к ${ displaystyle infty}$ вдоль каждой последовательности, сходящейся к граница точка ${ displaystyle { mbox {dom}} f}$.^[2]
• Замкнутая собственная выпуклая функция ж поточечный супремум коллекции всех аффинные функции час такой, что час ≤ ж (называемые аффинными минорантами ж).

использованная литература

• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-01586-6.

Эта математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.