Когомологический инвариант - Cohomological invariant

В математика, а когомологический инвариант из алгебраическая группа грамм через поле инвариант форм грамм принимая ценности в Когомологии Галуа группа.

Определение

Предположим, что грамм является алгебраическая группа определяется над поле K, и выберем сепарабельно замкнутое поле K содержащий K. Для конечного расширения L из K в K пусть Γ_L быть абсолютная группа Галуа из L. Первые когомологии H¹(L, грамм) = H¹(Γ_L, грамм) - множество, классифицирующее формы грамм над L, и является функтором L.

Когомологический инвариант грамм измерения d принимающие значения в Γ_K-модуль M является естественным преобразованием функторов (от L) из H¹(L, грамм) в H^d(L, M).

Другими словами, когомологический инвариант связывает элемент абелевой группы когомологий с элементами неабелевой группы когомологий.

В более общем смысле, если А - любой функтор из конечно порожденных расширений поля на множества, то когомологический инвариант поля А измерения d принимающие значения в Γ-модуле M является естественным преобразованием функторов (от L) из А к H^d(L, M).

Когомологические инварианты фиксированной группы грамм или функтор А, измерение d и Модуль Галуа M для мужчин абелева группа обозначается Inv^d(грамм,M) или Inv^d(А,M).

Примеры

Предполагать А - функтор, переводящий поле в классы изоморфизма размерности п этальные алгебры над ним. Когомологические инварианты с коэффициентами в Z/2Z является свободным модулем над когомологиями k с базой из элементов степеней 0, 1, 2, ..., м куда м это целая часть п/2.
В Инвариант Хассе-Витта квадратичной формы по существу является когомологическим инвариантом размерности 2 соответствующей спиновой группы, принимающей значения в группе порядка 2.
Если грамм является факторгруппой по гладкой конечной центральной подгруппе C, то граничное отображение соответствующей точной последовательности дает когомологический инвариант размерности 2 со значениями в C. Если грамм - специальная ортогональная группа, а покрытие - это спиновая группа, то соответствующий инвариант по существу является Инвариант Хассе-Витта.
Если грамм является ортогональной группой квадратичной формы в характеристике не 2, то существуют классы Штифеля – Уитни для каждой положительной размерности, которые являются когомологическими инвариантами со значениями в Z/2Z. (Это не топологические Классы Штифеля – Уитни вещественного векторного расслоения, но являются их аналогами для векторных расслоений над схемой.) Для размерности 1 это, по сути, дискриминант, а для размерности 2 - Инвариант Хассе-Витта.
В Инвариант Арасона е₃ является размерностью 3, инвариант некоторых четных размерных квадратичных форм q с тривиальным дискриминантом и тривиальным инвариантом Хассе-Витта. Он принимает значения в Z/2Z. Его можно использовать для построения когомологического инварианта размерности 3 соответствующей спиновой группы следующим образом. Если ты находится в H¹(K, Вращение(q)) и п - квадратичная форма, соответствующая образу ты в H¹(K, O (q)), тогда е₃(п−q) - значение когомологического инварианта размерности 3 на ты.
В Инвариант Меркурьева-Суслина является инвариантом размерности 3 специальной линейной группы центральной простой алгебры ранга п принимающие значения в тензорном квадрате группы пкорни единства. Когда п= 2 это, по сути, инвариант Арасона.
Для абсолютно простых односвязных групп грамм, то Рост-инвариант инвариант размерности 3, принимающий значения в Q/Z(2) которое в некотором смысле обобщает инвариант Арасона и инвариант Меркурьева – Суслина на более общие группы.

Когомологический инвариант - Cohomological invariant

Определение

Примеры

Рекомендации