Комбинаторная коммутативная алгебра - Combinatorial commutative algebra

Комбинаторная коммутативная алгебра относительно новый, быстро развивающийся математический дисциплина. Как следует из названия, он находится на пересечении еще двух установленных полей, коммутативная алгебра и комбинаторика, и часто использует методы одного для решения проблем, возникающих в другом. Менее очевидно, многогранная геометрия играет значительную роль.

Одной из вех в развитии предмета стало Ричард Стэнли доказательство 1975 г. Гипотеза о верхней границе за симплициальные сферы, который был основан на более ранних работах Мелвин Хохстер и Джеральд Рейснер. Хотя проблема может быть сформулирована чисто в геометрических терминах, методы доказательства основывались на технике коммутативной алгебры.

Сигнатурная теорема комбинаторной коммутативной алгебры - это характеризация час-векторы из симплициальные многогранники предположил в 1970 году Питер МакМаллен. Известный как грамм-теорема, это было доказано в 1979 году Стэнли (необходимость условий, алгебраическое рассуждение) и Луи Биллера и Карл В. Ли (достаточность, комбинаторно-геометрическое построение). Основным открытым вопросом было распространение этой характеристики с симплициальных многогранников на симплициальные сферы, грамм-гипотеза, которая была решена в 2018 г. Карим Адипрасито.

Важные понятия комбинаторной коммутативной алгебры

• Без квадратов мономиальный идеал в кольцо многочленов и Кольцо Стэнли – Рейснера из симплициальный комплекс.
• Кольцо Коэна – Маколея.
• Мономиальное кольцо, тесно связанный с аффинное полугрупповое кольцо и к координатное кольцо из аффинный торическое разнообразие.
• Алгебра с законом выпрямления. Есть несколько версий тех, в том числе Алгебры Ходжа из Коррадо де Кончини, Дэвид Эйзенбуд, и Клаудио Прочези.

Смотрите также

• Алгебраическая комбинаторика
• Многогранная комбинаторика
• График делителей нуля

Рекомендации

Основополагающая статья о комплексах Стэнли – Рейснера, написанная одним из пионеров теории:

• Мелвин Хохстер, Кольца Коэна – Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы. Теория колец, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171–223. Конспект лекций в Pure и Appl. Math., Vol. 26, Деккер, Нью-Йорк, 1977.

Первая книга - классическая (первое издание вышло в 1983 году):

• Ричард Стэнли, Комбинаторика и коммутативная алгебра. Второе издание. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x + 164 с. ISBN  0-8176-3836-9

Очень влиятельный и хорошо написанный учебник-монография:

• Винфрид Брунс; Юрген Херцог, Кольца Коэна – Маколея. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN  0-521-41068-1

Дополнительное чтение:

• Рафаэль Вильярреал, Мономиальные алгебры. Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 238. Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 2001. x + 455 с. ISBN  0-8247-0524-6
• Такаюки Хиби, Алгебраическая комбинаторика на выпуклых многогранниках, Carslaw Publications, Глеб, Австралия, 1992 г.
• Бернд Штурмфельс, Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники. Серия университетских лекций, 8. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1996. xii + 162 с. ISBN  0-8218-0487-1
• Винфрид Брунс, Иосиф Губеладзе, Многогранники, кольца и K-теория, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2009. 461 с. ISBN  978-0-387-76355-2

Недавнее дополнение к постоянно растущей литературе в этой области содержит описание актуальных тем исследований:

• Эзра Миллер, Бернд Штурмфельс, Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике, 227. Springer-Verlag, New York, 2005. xiv + 417 с. ISBN  0-387-22356-8
• Юрген Херцог и Такаюки Хиби, Мономиальные идеалы. Тексты для выпускников по математике, 260. Springer-Verlag, New York, 2011. 304 с.