Комонотоничность - Comonotonicity

В теория вероятности, комонотонность в основном относится к идеальной положительной зависимости между компонентами случайный вектор, по сути говоря, что они могут быть представлены как возрастающие функции одной случайной величины. В двух измерениях также можно рассматривать идеальную отрицательную зависимость, которая называется контрмонотонностью.

Комонотоничность также связана с комонотонной аддитивностью Интеграл Шоке.^[1]

Концепция комонотонности находит применение в управление финансовыми рисками и актуарная наука см. например Dhaene et al. (2002a) и Dhaene et al. (2002b). В частности, сумма компонентов $Икс 1 + Икс 2 + \cdot \cdot \cdot + Икс п$ самый рискованный, если совместное распределение вероятностей случайного вектора $(Икс 1, Икс 2, . . . , Икс п)$ является комонотоническим.^[2] Кроме того, $α$ -квантиль суммы равна сумме $α$ -квантилей его компонентов, следовательно, комонотонные случайные величины являются квантильно-аддитивными.^[3]^[4] С практической точки зрения управления рисками это означает, что сокращение отклонений от диверсификации минимально (или в конечном итоге отсутствует).

О расширении комонотонности см. Джоуини и Напп (2004) и Пуччетти и Скарсини (2010).

Определения

Комонотонность подмножеств $р п$

Подмножество $S$ из $р п$ называется комонотонический^[5] (иногда также неубывающий^[6]) если для всех $(Икс 1, Икс 2, . . . , Икс п)$ и $(у 1, у 2, . . . , у п)$ в $S$ с $Икс я < у я$ для некоторых $я \in {1, 2, . . . , п$ }, следует, что $Икс j \leq у j$ для всех $j \in {1, 2, . . . , п$ }.

Это значит, что $S$ это полностью заказанный набор.

Комонотонность вероятностных мер на $р п$

Позволять $μ$ быть вероятностная мера на $п$ -размерный Евклидово пространство $р п$ и разреши $F$ обозначить его многомерный кумулятивная функция распределения, это

{displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = mu {igl (} {(y_ {1}, ldots, y_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n} mid y_ {1} leq x_ {1}, ldots, y_ {n} leq x_ {n}} {igr)}, qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n }.}

Кроме того, пусть $F 1, . . . , F п$ обозначают кумулятивные функции распределения $п$ одномерный маржинальные распределения из $μ$ , это значит

{displaystyle F_ {i} (x): = mu {igl (} {(y_ {1}, ldots, y_ {n}) in {mathbb {R}} ^ {n} mid y_ {i} leq x} { igr)}, qquad xin {mathbb {R}}}

для каждого $я \in {1, 2, . . . , п$ }. потом $μ$ называется комонотонический, если

{displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = min _ {iin {1, ldots, n}} F_ {i} (x_ {i}), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n}.}

Обратите внимание, что мера вероятности $μ$ комонотоничен тогда и только тогда, когда его поддержка $S$ является комонотоническим согласно приведенному выше определению.^[7]

Комонотоничность $р п$ -значные случайные векторы

An $р п$ -значный случайный вектор $Икс = (Икс 1, . . . , Икс п)$ называется комонотонический, если его многомерный распространение (в предварительная мера ) является комонотоническим, это означает

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) = min _ {iin {1, ldots, n}} Pr (X_ {i} leq x_ {i} ), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n}.}

Характеристики

An $р п$ -значный случайный вектор $Икс = (Икс 1, . . . , Икс п)$ является комонотонным тогда и только тогда, когда его можно представить как

{displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = _ {ext {d}} (F_ {X_ {1}} ^ {- 1} (U), ldots, F_ {X_ {n}} ^ {-1} (U)) ,,}

где $= d$ означает равенство в распределении, в правой части непрерывный слева обобщенные обратные^[8] кумулятивных функций распределения $F Икс 1, . . . , F Икс п$ , и $U$ это равномерно распределенная случайная величина на единичный интервал. В более общем смысле, случайный вектор является комонотонным тогда и только тогда, когда он согласуется по распределению со случайным вектором, где все компоненты неубывающие функции (или все являются невозрастающими функциями) одной и той же случайной величины.^[9]

Верхняя граница

Верхняя граница Фреше – Хёффдинга для кумулятивных функций распределения

Позволять $Икс = (Икс 1, . . . , Икс п)$ быть $р п$ -значный случайный вектор. Затем для каждого $я \in {1, 2, . . . , п$ },

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) leq Pr (X_ {i} leq x_ {i}), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n},}

следовательно

{displaystyle Pr (X_ {1} leq x_ {1}, ldots, X_ {n} leq x_ {n}) leq min _ {iin {1, ldots, n}} Pr (X_ {i} leq x_ {i} ), qquad (x_ {1}, ldots, x_ {n}) в {mathbb {R}} ^ {n},}

с равенством везде тогда и только тогда, когда $(Икс 1, . . . , Икс п)$ является комонотоническим.

Верхняя граница ковариации

Позволять $(Икс, Y)$ - двумерный случайный вектор такой, что ожидаемые значения из $Икс$ , $Y$ и продукт $Икс Y$ существует. Позволять $(Икс *, Y *)$ - комонотонный двумерный случайный вектор с такими же одномерными маргинальными распределениями, что и $(Икс, Y)$ .^{[примечание 1]} Тогда из Формула Хёффдинга для ковариации^[10] и верхняя граница Фреше – Хёффдинга, что

{displaystyle {ext {Cov}} (X, Y) leq {ext {Cov}} (X ^ {*}, Y ^ {*})}

и, соответственно,

{displaystyle operatorname {E} [XY] leq operatorname {E} [X ^ {*} Y ^ {*}]}

с равенством тогда и только тогда, когда $(Икс, Y)$ является комонотоническим.^[11]

Отметим, что этот результат обобщает перестановочное неравенство и Неравенство сумм Чебышева.

Смотрите также

Копула (теория вероятностей)

Примечания

^ $(Икс *, Y *)$ всегда существует, например $(F Икс -1 (U), F Y -1 (U))$ , см. раздел Характеристики над.

Цитаты

^ (Sriboonchitta et al. 2010 г., стр. 149–152).
^ (Kaas et al. 2002 г., Теорема 6)
^ (Kaas et al. 2002 г., Теорема 7)
^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 6.15)
^ (Kaas et al. 2002 г., Определение 1)
^ Увидеть (Нельсен 2006, Определение 2.5.1) для случая $п = 2$
^ Увидеть (Нельсен 2006, Теорема 2.5.4) для случая $п = 2$
^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение A.3 (свойства обобщенного обратного))
^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 5.16 и его доказательство)
^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Лемма 5.24)
^ (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Теорема 5.25 (2))

использованная литература

Дхейн, Ян; Denuit, Мишель; Goovaerts, Marc J .; Винке, Дэвид (2002a), «Концепция комонотонности в актуарной науке и финансах: теория» (PDF), Страхование: математика и экономика, 31 (1): 3–33, Дои:10.1016 / s0167-6687 (02) 00134-8, Г-Н 1956509, Zbl 1051.62107, заархивировано из оригинал (PDF) на 2008-12-09, получено 2012-08-28
Дхейн, Ян; Denuit, Мишель; Goovaerts, Marc J .; Винке, Дэвид (2002b), «Концепция комонотонности в актуарной науке и финансах: приложения» (PDF), Страхование: математика и экономика, 31 (2): 133–161, CiteSeerX 10.1.1.10.789, Дои:10.1016 / с0167-6687 (02) 00135-х, Г-Н 1932751, Zbl 1037.62107, заархивировано из оригинал (PDF) на 2008-12-09, получено 2012-08-28
Жуини, Эльес; Напп, Клотильда (2004), «Условная комонотонность» (PDF), Решения по экономике и финансам, 27 (2): 153–166, Дои:10.1007 / s10203-004-0049-у, ISSN 1593-8883, Г-Н 2104639, Zbl 1063.60002
Каас, Роб; Дхейн, Ян; Винке, Дэвид; Goovaerts, Marc J .; Denuit, Мишель (2002), «Простое геометрическое доказательство того, что комонотонные риски имеют наибольшую выпуклую сумму» (PDF), Бюллетень АСТИН, 32 (1): 71–80, Дои:10.2143 / ast.32.1.1015, Г-Н 1928014, Zbl 1061.62511
Макнил, Александр Дж .; Фрей, Рюдигер; Embrechts, Пол (2005), Количественное управление рисками. Концепции, методы и инструменты, Princeton Series in Finance, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12255-7, Г-Н 2175089, Zbl 1089.91037
Нельсен, Роджер Б. (2006), Введение в копулы, Springer Series in Statistics (второе издание), Нью-Йорк: Springer, стр. xiv + 269, ISBN 978-0-387-28659-4, Г-Н 2197664, Zbl 1152.62030
Пуччетти, Джованни; Скарсини, Марко (2010), «Многомерная комонотонность» (PDF), Журнал многомерного анализа, 101 (1): 291–304, Дои:10.1016 / j.jmva.2009.08.003, ISSN 0047-259X, Г-Н 2557634, Zbl 1184.62081
Срибоунчитта, Сонгсак; Вонг, Винг-Кеунг; Дхомпонгса, Сомпонг; Нгуен, Хунг Т. (2010), Стохастическое доминирование и приложения к финансам, рискам и экономике, Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-4200-8266-1, Г-Н 2590381, Zbl 1180.91010

[10] $(Икс *, Y *)$ всегда существует, например $(F Икс -1 (U), F Y -1 (U))$ , см. раздел Характеристики над.

[1] (Sriboonchitta et al. 2010 г., стр. 149–152).

[2] (Kaas et al. 2002 г., Теорема 6)

[3] (Kaas et al. 2002 г., Теорема 7)

[4] (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 6.15)

[5] (Kaas et al. 2002 г., Определение 1)

[6] Увидеть (Нельсен 2006, Определение 2.5.1) для случая $п = 2$

[7] Увидеть (Нельсен 2006, Теорема 2.5.4) для случая $п = 2$

[8] (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение A.3 (свойства обобщенного обратного))

[9] (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Предложение 5.16 и его доказательство)

[11] (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Лемма 5.24)

[12] (Макнил, Фрей и Эмбрехтс 2005, Теорема 5.25 (2))

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[примечание 1]

[10]

[11]