Композиционные данные - Википедия - Compositional data

В статистика, композиционные данные количественные описания частей некоторого целого, передающие относительную информацию. Математически композиционные данные представлен точками на симплекс. Измерения, включающие вероятности, пропорции, проценты и промилле все можно рассматривать как композиционные данные.

Тернарный сюжет

В трех переменных, композиционные данные в трех переменных могут быть построены с помощью тройные участки. Использование барицентрический участок на трех переменных графически изображает отношения трех переменных как позиции в равносторонний треугольник.

Симплициальное пространство отсчетов

В целом, Джон Эйтчисон определил композиционные данные как пропорции некоторого целого в 1982 году.^[1] В частности, точка композиционных данных (или сочинение для краткости) может быть представлен вещественным вектором с положительными компонентами. Пространство выборки композиционных данных представляет собой симплекс:

{ Displaystyle { mathcal {S}} ^ {D} = left { mathbf {x} = [x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {D}] in mathbb {R } ^ {D} , left | , x_ {i}> 0, i = 1,2, dots, D; sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} = kappa верно-верно}. }

Иллюстрация симплекса Эйтчисона. Здесь есть 3 части,

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}

представляют собой значения разных пропорций. A, B, C, D и E - это 5 разных композиций в симплексе. Все A, B и C эквивалентны, а D и E эквивалентны.

Единственная информация дается соотношениями между компонентами, поэтому информация о композиции сохраняется при умножении на любую положительную константу. Следовательно, выборочное пространство композиционных данных всегда можно считать стандартным симплексом, т.е. ${ displaystyle kappa = 1}$ . В этом контексте нормализация к стандартному симплексу называется закрытие и обозначается ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {C}} [, cdot ,]}$ :

{ displaystyle { mathcal {C}} [x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {D}] = left [{ frac {x_ {1}} { sum _ {i = 1 } ^ {D} x_ {i}}}, { frac {x_ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}}, dots, { frac {x_ { D}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i}}} right], }

куда D количество деталей (компонентов) и ${ Displaystyle [ cdot]}$ обозначает вектор-строку.

Геометрия Эйчисона

Симплексу можно придать структуру реального векторного пространства несколькими способами. Следующая структура векторного пространства называется Геометрия Эйчисона или Симплекс Эйчисона и имеет следующие операции:

Возмущение

{ displaystyle x oplus y = left [{ frac {x_ {1} y_ {1}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}}, { гидроразрыв {x_ {2} y_ {2}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}}, dots, { frac {x_ {D} y_ {D} } { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} y_ {i}}} right] = C [x_ {1} y_ {1}, ldots, x_ {D} y_ {D} ] qquad forall x, y in S ^ {D}}

Питание

{ displaystyle alpha odot x = left [{ frac {x_ {1} ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}} , { frac {x_ {2} ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}}, ldots, { frac {x_ {D) } ^ { alpha}} { sum _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ { alpha}}} right] = C [x_ {1} ^ { alpha}, ldots, x_ {D} ^ { alpha}] qquad forall x in S ^ {D}, ; alpha in mathbb {R}}

Внутренний продукт

{ displaystyle langle x, y rangle = { frac {1} {2D}} sum _ {i = 1} ^ {D} sum _ {j = 1} ^ {D} log { frac {x_ {i}} {x_ {j}}} log { frac {y_ {i}} {y_ {j}}} qquad forall x, y in S ^ {D}}

Одних только этих операций достаточно показать, что симплекс Эйчисона образует ${ displaystyle (D-1)}$ -мерное евклидово векторное пространство.

Ортонормированные базы

Поскольку симплекс Эйчисона образует конечномерное гильбертово пространство, можно построить ортонормированные базисы в симплексе. Каждая композиция ${ displaystyle x}$ можно разложить следующим образом

{ displaystyle x = bigoplus _ {i = 1} ^ {D} x_ {i} ^ {*} odot e_ {i}}

куда ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {D-1}}$ образует ортонормированный базис в симплексе.^[2] Ценности ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}, i = 1,2, ldots, D-1}$ - координаты (ортонормированные и декартовы) ${ displaystyle x}$ по данному основанию. Они называются изометрическими логарифмическими координатами. ${ displaystyle ( operatorname {ilr})}$ .

Линейные преобразования

Есть три хорошо охарактеризованных изоморфизмы которые превращаются из симплекса Эйтчисона в реальное пространство. Все эти преобразования удовлетворяют линейности и, как указано ниже

Аддитивное преобразование логарифмического отношения

Преобразование аддитивного логарифмического отношения (alr) является изоморфизмом, где ${ displaystyle operatorname {alr}: S ^ {D} rightarrow mathbb {R} ^ {D-1}}$ . Это дается

{ displaystyle operatorname {alr} (x) = left [ log { frac {x_ {1}} {x_ {D}}} cdots log { frac {x_ {D-1}} {x_ {D}}} right]}

Компонент знаменателя выбирается произвольно и может быть любым заданным компонентом. Это преобразование обычно используется в химии при измерениях, таких как pH. Кроме того, это преобразование чаще всего используется для полиномиальная логистическая регрессия. Преобразование alr не является изометрией, то есть расстояния в преобразованных значениях не будут эквивалентны расстояниям в исходных композициях в симплексе.

Преобразование центрального логарифмического отношения

Преобразование центрально-логарифмического отношения (clr) является одновременно изоморфизмом и изометрией, где ${ displaystyle operatorname {clr}: S ^ {D} rightarrow U, quad U subset mathbb {R} ^ {D}}$

{ displaystyle operatorname {clr} (x) = left [ log { frac {x_ {1}} {g (x)}} cdots log { frac {x_ {D}} {g (x )}}верно]}

Где ${ displaystyle g (x)}$ среднее геометрическое ${ displaystyle x}$ . Обратная функция этой функции также известна как функция softmax обычно используется в нейронных сетях.

Изометрическое преобразование логарифмического отношения

Преобразование изометрического логарифмического отношения (ilr) является одновременно изоморфизмом и изометрией, где ${ displaystyle operatorname {ilr}: S ^ {D} rightarrow mathbb {R} ^ {D-1}}$

{ displaystyle operatorname {ilr} (x) = { big [} langle x, e_ {1} rangle, ldots, langle x, e_ {D-1} rangle { big]}}

Существует несколько способов построения ортонормированных базисов, включая использование Ортогонализация Грама – Шмидта или же сингулярное разложение преобразованных данных clr. Другой альтернативой является построение бревенчатых контрастов из разветвляющегося дерева. Если дано бифуркационное дерево, мы можем построить основу из внутренних узлов в дереве.

Представление дерева через его ортогональные компоненты. l представляет собой внутренний узел, элемент ортонормированного базиса. Это предшественник использования дерева в качестве основы для преобразования ilr.

Каждый вектор в базисе будет определяться следующим образом

{ displaystyle е _ { ell} = C [ exp (, underbrace {0, ldots, 0} _ {k}, underbrace {a, ldots, a} _ {r}, underbrace {b , ldots, b} _ {s}, underbrace {0, ldots, 0} _ {t} ,)]}

Элементы в каждом векторе задаются следующим образом

{ displaystyle a = { frac { sqrt {s}} { sqrt {r (r + s)}}} quad { text {and}} quad b = { frac {- { sqrt { r}}} { sqrt {s (r + s)}}}}

куда ${ displaystyle k, r, s, t}$ - соответствующее количество подсказок в соответствующих поддеревьях, показанных на рисунке. Можно показать, что полученный базис ортонормирован.^[3]

Когда-то основа ${ displaystyle Psi}$ построено, преобразование ilr может быть вычислено следующим образом

{ displaystyle operatorname {ilr} (x) = operatorname {clr} (x) Psi ^ {T}}

где каждый элемент в данных, преобразованных ilr, имеет следующую форму

{ displaystyle b_ {i} = { sqrt { frac {rs} {r + s}}} log { frac {g (x_ {R})} {g (x_ {S})}}}

куда ${ displaystyle x_ {R}}$ и ${ displaystyle x_ {S}}$ - набор значений, соответствующих подсказкам в поддеревьях ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle S}$

Примеры

В химия, композиции могут быть выражены как молярные концентрации каждого компонента. Поскольку сумма всех концентраций не определена, весь состав D частей необходимы и, таким образом, выражаются как вектор D молярные концентрации. Эти составы можно перевести в массовые проценты, умножив каждый компонент на соответствующую константу.
В демография, город может быть точкой композиционных данных в выборке городов; город, в котором 35% населения - христиане, 55% - мусульмане, 6% - евреи, а оставшиеся 4% - другие, соответствует четверке [0,35, 0,55, 0,06, 0,04]. Набор данных будет соответствовать списку городов.
В геология, горная порода, состоящая из различных минералов, может быть точкой данных о составе в образце горных пород; горная порода, из которой 10% является первым минералом, 30% - вторым, а оставшиеся 60% - третьим, соответствует тройному [0,1, 0,3, 0,6]. А набор данных будет содержать по одной такой тройке для каждого камня в образце горных пород.
В высокопроизводительное секвенирование полученные данные обычно преобразуются в относительную численность, что делает их композиционными.
В вероятность и статистика, разделение пространства выборки на непересекающиеся события описывается вероятностями, присвоенными таким событиям. Вектор D вероятности можно рассматривать как композицию D части. Когда они прибавляются к одному, одна вероятность может быть подавлена, и состав полностью определен.
В опрос, пропорции людей, положительно ответивших на разные вопросы, можно выразить в процентах. Поскольку общее количество определено как 100, композиционный вектор D компоненты могут быть определены с использованием только D - 1 компонент, предполагая, что оставшийся компонент - это процент, необходимый для прибавления всего вектора к 100.

Смотрите также

Примечания

^ Эйчисон, Джон (1982). «Статистический анализ композиционных данных». Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 44 (2): 139–177. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1982.tb01195.x.
^ Egozcue et al.
^ Egozcue & Pawlowsky-Glahn 2005

внешняя ссылка

CoDaWeb - Веб-сайт композиционных данных
Pawlowsky-Glahn, V .; Egozcue, J.J .; Толосана-Дельгадо Р. (2007). «Конспект лекций по анализу композиционных данных». HDL:10256/297. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
Почему и как геологи должны использовать анализ композиционных данных (викибук)

[1] Эйчисон, Джон (1982). «Статистический анализ композиционных данных». Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 44 (2): 139–177. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1982.tb01195.x.

[2] Egozcue et al.

[3] Egozcue & Pawlowsky-Glahn 2005

[1]

[2]

[3]