Варианты управления - Control variates

В управление варьируется метод - это уменьшение дисперсии техника, используемая в Методы Монте-Карло. Он использует информацию об ошибках в оценке известных величин, чтобы уменьшить ошибку оценки неизвестной величины.^[1][2][3]

Основной принцип

Пусть неизвестное параметр интересно быть ${ displaystyle mu}$, и предположим, что у нас есть статистика ${ displaystyle m}$ так что ожидаемое значение из м это μ: ${ Displaystyle mathbb {E} влево [м вправо] = му}$, т.е. м является объективный оценщик для μ. Предположим, мы вычисляем другую статистику ${ displaystyle t}$ такой, что ${ Displaystyle mathbb {E} влево [т вправо] = тау}$ известное значение. потом

${ Displaystyle м ^ { звезда} = м + с влево (т- тау вправо) ,}$

также является объективной оценкой для ${ displaystyle mu}$ при любом выборе коэффициента ${ displaystyle c}$. В отклонение итоговой оценки ${ Displaystyle м ^ { звезда}}$ является

${ displaystyle { textrm {Var}} left (m ^ { star} right) = { textrm {Var}} left (m right) + c ^ {2} , { textrm {Var }} left (t right) + 2c , { textrm {Cov}} left (m, t right).}$

Можно показать, что выбор оптимального коэффициента

${ displaystyle c ^ { star} = - { frac {{ textrm {Cov}} left (m, t right)} {{ textrm {Var}} left (t right)}}}$

сводит к минимуму разброс ${ Displaystyle м ^ { звезда}}$, и что с этим выбором,

${ displaystyle { begin {align} { textrm {Var}} left (m ^ { star} right) & = { textrm {Var}} left (m right) - { frac { left [{ textrm {Cov}} left (m, t right) right] ^ {2}} {{ textrm {Var}} left (t right)}} & = left ( 1- rho _ {m, t} ^ {2} right) { textrm {Var}} left (m right) end {align}}}$

куда

${ displaystyle rho _ {m, t} = { textrm {Corr}} left (m, t right) ,}$

это коэффициент корреляции из ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle t}$. Чем больше значение ${ displaystyle vert rho _ {m, t} vert}$, чем больше уменьшение дисперсии достигнуто.

В случае, если ${ Displaystyle { textrm {Cov}} влево (м, т вправо)}$, ${ displaystyle { textrm {Var}} left (т right)}$, и / или ${ Displaystyle rho _ {м, т} ;}$ неизвестны, их можно оценить по копиям Монте-Карло. Это эквивалентно решению определенного наименьших квадратов система; поэтому этот метод также известен как регрессионная выборка.

Когда ожидание управляющей переменной, ${ Displaystyle mathbb {E} влево [т вправо] = тау}$, не известна аналитически, тем не менее можно повысить точность оценки ${ displaystyle mu}$ (для заданного фиксированного бюджета моделирования) при соблюдении двух условий: 1) оценка ${ displaystyle t}$ значительно дешевле вычислений ${ displaystyle m}$; 2) величина коэффициента корреляции ${ displaystyle | rho _ {m, t} |}$ близка к единице. ^[3]

Пример

Мы хотели бы оценить

${ Displaystyle I = int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1 + x}} , mathrm {d} x}$

с помощью Интеграция Монте-Карло. Этот интеграл представляет собой ожидаемое значение ${ displaystyle f (U)}$, куда

${ displaystyle f (U) = { frac {1} {1 + U}}}$

и U следует за равномерное распределение [0, 1]. Использование выборки размера п обозначим точки в образце как ${ displaystyle u_ {1}, cdots, u_ {n}}$. Тогда оценка дается как

${ displaystyle I приблизительно { frac {1} {n}} sum _ {i} f (u_ {i}).}$

Теперь мы представляем ${ Displaystyle г (U) = 1 + U}$ в качестве контрольной переменной с известным ожидаемым значением ${ Displaystyle mathbb {E} влево [г влево (U вправо) вправо] = int _ {0} ^ {1} (1 + х) , mathrm {d} х = { tfrac {3} {2}}}$ и объедините эти два в новую оценку

${ Displaystyle I приблизительно { гидроразрыва {1} {n}} sum _ {i} f (u_ {i}) + c left ({ frac {1} {n}} sum _ {i} g (u_ {i}) - 3/2 right).}$

С помощью ${ displaystyle n = 1500}$ реализации и расчетный оптимальный коэффициент ${ displaystyle c ^ { star} приблизительно 0,4773}$ получаем следующие результаты

Дисперсия была значительно уменьшена после использования метода контрольных вариаций. (Точный результат ${ displaystyle I = ln 2 приблизительно 0,69314718}$.)

Смотрите также

• Противоположные варианты
• Выборка по важности

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Контроль меняется»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Примечания

Рекомендации

• Росс, Шелдон М. (2002) Моделирование 3-е издание ISBN  978-0-12-598053-1
• Аверилл М. Ло и У. Дэвид Келтон (2000), Имитационное моделирование и анализ, 3-е изд. ISBN  0-07-116537-1
• С. П. Мейн (2007) Методы управления сложными сетями, Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88441-9. Загружаемый черновик (Раздел 11.4: Параметры управления и теневые функции)