Граф Дюрера - Dürer graph

Меленколия I Альбрехта Дюрера, первое появление твердого тела Дюрера (1514 г.).

в математический поле теория графов, то Граф Дюрера является неориентированный граф с 12 вершинами и 18 ребрами. Он назван в честь Альбрехт Дюрер, чья 1514 гравировка Меленколия I включает изображение Твердое тело Дюрера, а выпуклый многогранник имея граф Дюрера в качестве скелет. Твердость Дюрера - одна из четырех хорошо покрытый просто выпуклые многогранники.

Твердое тело Дюрера

Тело Дюрера комбинаторно эквивалентно телу куб с двумя противоположными вершинами усеченный,[1] хотя Дюрер описывает его не в этой форме, а как усеченный ромбоэдр или треугольный усеченный трапецоэдр.[2] Точная геометрия твердого тела, изображенного Дюрером, является предметом некоторых академических дебатов с различными гипотетическими значениями для его острых углов в диапазоне от 72 ° до 82 °.[3]

Теоретико-графические свойства

Граф Дюрера
Дюрер graph.svg
Граф Дюрера
Названный в честьАльбрехт Дюрер
Вершины12
Края18
Радиус3
Диаметр4
Обхват3
Автоморфизмы12 (D6)
Хроматическое число3
Хроматический индекс3
СвойстваКубический
Планарный
хорошо покрытый
Таблица графиков и параметров

Граф Дюрера - это граф, образованный вершинами и ребрами тела Дюрера. Это кубический граф из обхват 3 и диаметр 4. Так же как его конструкция, как каркас тела Дюрера, его можно получить, применяя Y-Δ преобразование в противоположные вершины куб граф, или как обобщенный граф Петерсена г(6,2). Как и любой график выпуклого многогранника, граф Дюрера является 3-вершинно-связанный просто планарный граф.

Граф Дюрера - это хорошо покрытый граф, что означает, что все его максимальные независимые множества имеют одинаковое количество вершин, четыре. Это один из четырех хорошо покрытых кубических многогранных графов и один из семи хорошо покрытых 3-связных кубических графов. Только остальные три хорошо прикрыты просто выпуклые многогранники тетраэдр, треугольная призма, и пятиугольная призма.[4]

Граф Дюрера есть Гамильтониан, с участием Обозначение LCF [-4,5,2,-4,-2,5;-].[5] Точнее, он имеет ровно шесть гамильтоновых циклов, каждая пара из которых может отображаться друг в друга с помощью симметрии графа.[6]

Симметрии

В группа автоморфизмов как граф Дюрера, так и твердое тело Дюрера (либо в форме усеченного куба, либо в форме, показанной Дюрером) изоморфны группа диэдра порядка 12: D6.

Галерея

Примечания

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Твердое тело Дюрера». MathWorld.
  2. ^ Вебер (1900).
  3. ^ Вайцель (2004).
  4. ^ Кэмпбелл и Пламмер (1988); Кэмпбелл, Эллингем и Ройл (1993).
  5. ^ Кастанья и Принс (1972) приписывают доказательство гамильтоничности класса обобщенных графов Петерсена, который включает граф Дюрера, докторской диссертации 1968 г. диссертация Г. Н. Робертсона в Университете Ватерлоо.
  6. ^ Швенк (1989).

Рекомендации