Теорема о диаконеске - Википедия - Diaconescus theorem

В математическая логика, Теорема Диаконеску, или Теорема Гудмана – Майхилла, заявляет, что полный аксиома выбора достаточно, чтобы получить закон исключенного среднего или его ограниченные формы в конструктивная теория множеств. Он был открыт в 1975 году Диаконеску.^[1] а позже Гудманом и Myhill.^[2] Уже в 1967 г. Эрретт Бишоп сформулировал теорему как упражнение (задача 2 на стр. 58 в Основы конструктивного анализа^[3]).

Доказательство

Для любого предложение ${ Displaystyle P ,}$, мы можем строить наборы

${ Displaystyle U = {x in {0,1 } :( x = 0) vee P }}$

и

${ Displaystyle V = {x in {0,1 } :( x = 1) vee P }.}$

Это наборы, использующие аксиома спецификации. В классической теории множеств это было бы эквивалентно

${ Displaystyle U = { begin {case} {0,1 }, & { mbox {if}} P {0 }, & { mbox {if}} neg P end { случаи}}}$

и аналогично для ${ Displaystyle V ,}$. Однако без закона исключенного третьего эти эквивалентности не могут быть доказаны; на самом деле эти два набора даже не доказуемо конечный (в обычном смысле биекция с натуральное число, хотя они были бы в Дедекинд смысл).

Если предположить аксиома выбора, существует функция выбора для набора ${ Displaystyle {U, V } ,}$; то есть функция ${ displaystyle f ,}$ такой, что

${ Displaystyle [е (U) в U] клин [е (V) в V]. ,}$

По определению двух множеств это означает, что

${ Displaystyle [(е (U) = 0) vee P] клин [(f (V) = 1) vee P] ,}$,

что подразумевает ${ Displaystyle (е (U) neq f (V)) vee P.}$

Но с тех пор ${ Displaystyle P к (U = V)}$ (посредством аксиома протяженности ), следовательно ${ Displaystyle Р к (е (U) = е (V)) ,}$, так

${ Displaystyle (е (U) neq f (V)) к neg P.}$

Таким образом ${ displaystyle neg P vee P.}$ Поскольку это может быть сделано для любого предложения, это завершает доказательство того, что аксиома выбора подразумевает закон исключенного третьего.

Доказательство основано на использовании аксиомы полной отделимости. В конструктивных теориях множеств только предикативное разделение, форма п будет ограничен предложениями только со связанными кванторами, давая только ограниченную форму закона исключенного третьего. Эта ограниченная форма пока еще не приемлема конструктивно.

В конструктивная теория типов, или в Арифметика Гейтинга расширенный с помощью конечных типов, как правило, нет разделения вообще - подмножества типа обрабатываются по-разному. Форма аксиомы выбора - это теорема, а исключенная середина - нет.

Примечания