Модуль Дьедонне - Dieudonné module

В математике Модуль Дьедонне представлен Жан Дьедонне (1954, 1957b ), это модуль над некоммутативным Кольцо Dieudonné, которая порождается над кольцом Векторы Витта двумя специальными эндоморфизмами F и V называется Фробениус и Verschiebung операторы. Они используются для изучения конечных плоских коммутативных групповых схем.

Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным поле k положительной характеристики п можно изучить, перенеся их геометрическую структуру в (полу) линейно-алгебраический контекст. Основной объект - кольцо Дьедонне.

{ Displaystyle D = W (к) {F, V } / (FV-p)}

,

которое является частным кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами в Векторы Витта из k. Эндоморфизмы F и V являются операторами Фробениуса и Вершибунга, и они могут действовать нетривиально на векторах Витта. Дьедонне и Пьер Картье построил антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка власти п и модули более D с конечным ${ Displaystyle W (к)}$ -длина. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ко-векторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который фактически может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем взятия прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Вершибунга ${ Displaystyle V двоеточие W_ {n} to W_ {n + 1}}$ , а затем завершение. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, исследуя соответствующие модули Дьедонне, например, связные п-групповые схемы соответствуют D-модули, для которых F нильпотентна, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.

Теория Дьедонне существует в несколько более общем контексте, чем конечные плоские группы над полем. Тадао Ода В диссертации 1967 г. была установлена связь между модулями Дьедонне и первым когомологии де Рама абелевых разновидностей, и примерно в то же время Александр Гротендик предположил, что должна существовать кристальная версия теории, которую можно было бы использовать для анализа п-делимые группы. Действия Галуа на групповых схемах переносятся через эквивалентности категорий, и соответствующая теория деформации представлений Галуа использовалась в Эндрю Уайлс работает над Гипотеза Шимуры – Таниямы.

Кольца Дьедонне

Если k поле характеристики п, его кольцо Векторы Витта состоит из последовательностей (ш₁, ш₂, ш₃, ...) элементов k, и имеет эндоморфизм σ индуцированный эндоморфизмом Фробениуса k, так (ш₁, ш₂, ш₃, ...)^σ = (ш^п
₁, ш^п
₂, ш^п
₃, ...). В Кольцо Dieudonné, часто обозначаемый E_k или D_k, - некоммутативное кольцо над W(k) порожденный 2 элементами F и V при условии отношений

FV = VF = п

Fw = ш^σF

wV = Vw^σ.

Это ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -градуированное кольцо, где степень ${ Displaystyle {п in mathbb {Z}}}$ - одномерный свободный модуль над W(k), натянутый на V^−п если п ≤ 0 и по F^п если п ≥ 0.

Некоторые авторы определяют кольцо Дьедонне как пополнение указанного выше кольца для идеала, порожденного F и V.

Модули и группы Дьедонне

Специальные типы модулей над кольцом Дьедонне соответствуют некоторым схемам алгебраических групп. Например, модули конечной длины над кольцом Дьедонне образуют абелеву категорию, эквивалентную противоположной категории конечных коммутативных п-групповые схемы над k.

Примеры

Если ${ displaystyle X}$ постоянная групповая схема ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ над ${ displaystyle k}$ , то соответствующий ему модуль Дьедонне ${ Displaystyle mathbf {D} (X)}$ является ${ displaystyle k}$ с ${ Displaystyle F = mathrm {Frob} _ {k}}$ и ${ displaystyle V = 0}$ .
Для схемы п-й корень единства ${ Displaystyle X = mu _ {p}}$ , то соответствующий ему модуль Дьедонне есть ${ Displaystyle mathbf {D} (Х) = к}$ с ${ displaystyle F = 0}$ и ${ Displaystyle V = mathrm {Frob} _ {k} ^ {- 1}}$ .
За ${ displaystyle X = alpha _ {p}}$ , определяемую как ядро Фробениуса ${ displaystyle mathbb {G} _ {a} to mathbb {G} _ {a}}$ , модуль Дьедонне ${ Displaystyle mathbf {D} (Х) = к}$ с ${ Displaystyle F = V = 0}$ .
Если ${ displaystyle X = E [p]}$ это п-кручение эллиптической кривой над k (с п-кручение в k), то модуль Дьедонне зависит от того, E является суперсингулярный или нет.

Классификационная теорема Дьедонне – Манина

Классификационная теорема Дьедонне – Манина доказана Дьедонне (1955 ) и Юрий Манин (1963 ). Он описывает структуру модулей Дьедонне над алгебраически замкнутым полем. k вплоть до «изогении». Точнее, он классифицирует конечно порожденные модули над ${ displaystyle D_ {k} [1 / p]}$ , куда ${ displaystyle D_ {k}}$ кольцо Дьедонне. Категория таких модулей полупроста, поэтому каждый модуль представляет собой прямую сумму простых модулей. Простые модули - это модули E_s/р куда р и s взаимно простые целые числа с р> 0. Модуль E_s/р имеет основу W(k)[1/п] формы v, Fv, F²v,...,F^р−1v для какого-то элемента v, и F^рv = п^sv. Рациональное число s/р называется уклоном модуля.

Модуль Дьедонне групповой схемы

Если грамм является коммутативной групповой схемой, ее модуль Дьедонне D(грамм) определяется как Hom (грамм,W), определяемый как lim_п Hom (грамм, W_п) куда W - формальная схема группы Витта и W_п - усеченная групповая схема Витта векторов Витта длины п.

Модуль Дьедонне дает антиэквивалентности между различными видами коммутативных групповых схем и левыми модулями над кольцом Дьедонне. D.

Конечные коммутативные групповые схемы п-порядок мощности соответствует D модули, имеющие конечную длину по W.
Унипотентным аффинным коммутативным групповым схемам соответствуют D модули, которые V-кручение.
п-делимые группы соответствуют D-модули, конечно порожденные свободными W-модули, по крайней мере, над идеальными полями.

Кристалл Дьедонне

Кристалл Дьедонне - это кристалл D вместе с гомоморфизмами F:D^п→D и V :D→D^п удовлетворение отношений VF=п (на D^п), FV=п (на D). Кристаллы Дьедонне были введены Гротендик (1966). Они играют ту же роль для классификации алгебраических групп над схемами, которую модули Дьедонне играют для классификации алгебраических групп над полями.

внешняя ссылка

Стены, Патрик (2013), Модули Дьедонне и п-делимые группы (PDF)