Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами - Differential calculus over commutative algebras

В математика то дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами является частью коммутативная алгебра на основе наблюдения, что большинство понятий, известных из классического дифференциала исчисление можно сформулировать в чисто алгебраических терминах. Примеры этого:

Вся топологическая информация гладкое многообразие ${displaystyle M}$ закодировано в алгебраических свойствах его ${displaystyle mathbb {R}}$ -алгебра гладких функций ${displaystyle A = C ^ {infty} (M),}$ как в Теорема Банаха – Стоуна.
Векторные пучки над ${displaystyle M}$ соответствуют проективным конечно порожденным модули над ${displaystyle A}$ , через функтор ${displaystyle Gamma}$ которое ставит в соответствие векторному расслоению его модуль секций.
Векторные поля на ${displaystyle M}$ естественно отождествляются с производные алгебры ${displaystyle A}$ .
В более общем плане линейный дифференциальный оператор порядка k, отправляя разделы векторного расслоения ${displaystyle Eightarrow M}$ в разделы другого пакета ${displaystyle Fightarrow M}$ рассматривается как ${displaystyle mathbb {R}}$ -линейная карта ${displaystyle Delta: Gamma (E) ightarrow Gamma (F)}$ между связанными модулями, так что для любого k + 1 элемент ${displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {k} in A}$ :

${displaystyle [f_ {k} [f_ {k-1} [cdots [f_ {0}, Delta] cdots]] = 0}$

где скобка ${displaystyle [f, Delta]: Gamma (E) ightarrow Gamma (F)}$ определяется как коммутатор

${displaystyle [f, Delta] (s) = Delta (fcdot s) -fcdot Delta (s).}$

Обозначая набор kлинейные дифференциальные операторы порядка из ${displaystyle A}$ -модуль ${displaystyle P}$ для ${displaystyle A}$ -модуль ${displaystyle Q}$ с ${displaystyle mathrm {Diff} _ {k} (P, Q)}$ мы получаем бифунктор со значениями в категория из ${displaystyle A}$ -модули. Другие естественные концепции исчисления, такие как реактивные пространства, дифференциальные формы тогда получаются как представляющие объекты функторов ${displaystyle mathrm {Diff} _ {k}}$ и связанные с ними функторы.

С этой точки зрения исчисление может фактически пониматься как теория этих функторов и представляющих их объектов.

Замена действительных чисел ${displaystyle mathbb {R}}$ с любым коммутативное кольцо, а алгебра ${displaystyle C ^ {infty} (M)}$ для любой коммутативной алгебры сказанное выше остается значимым, поэтому дифференциальное исчисление может быть развито для произвольных коммутативных алгебр. Многие из этих концепций широко используются в алгебраическая геометрия, дифференциальная геометрия и вторичный камень. Более того, теория естественным образом обобщается на градуированная коммутативная алгебра, что позволяет заложить естественную основу исчисления на супермногообразия, градуированные многообразия и связанные концепции, такие как Березин интеграл.

Смотрите также

Дифференциальная алгебра

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами - Differential calculus over commutative algebras

Смотрите также

Рекомендации