Дискретное синусоидальное преобразование - Discrete sine transform

В математика, то дискретное синусоидальное преобразование (DST) это Преобразование Фурье аналогично дискретное преобразование Фурье (DFT), но используя чисто настоящий матрица. Это эквивалентно мнимым частям ДПФ примерно вдвое большей длины, работающим с реальными данными с странный симметрия (поскольку преобразование Фурье действительной и нечетной функции является мнимым и нечетным), где в некоторых вариантах входные и / или выходные данные сдвинуты на половину отсчета.

Семейство трансформ, состоящее из синус и синус гиперболический функции существует. Эти преобразования сделаны на основе естественная вибрация тонких квадратных пластин с разными граничные условия.^[1]

Переход на летнее время связан с дискретное косинусное преобразование (DCT), что эквивалентно ДПФ вещественных и даже функции. См. Статью DCT для общего обсуждения того, как граничные условия соотносят различные типы DCT и DST. Как правило, DST выводится из DCT путем замены Условие Неймана в х = 0 с Условие Дирихле.^[2] И DCT, и DST были описаны Насир Ахмед Т. Натараджан и K.R. Рао в 1974 г.^[3]^[4] DST типа I (DST-I) позже был описан Анил К. Джайн в 1976 г., а ТЛЧ II типа (ТЛЧ-II) было описано H.B. Кекра и Дж. Соланка в 1978 году.^[5]

Приложения

DST широко используются при решении уравнения в частных производных к спектральные методы, где разные варианты DST соответствуют немного разным нечетным / четным граничным условиям на двух концах массива.

Неформальный обзор

Иллюстрация неявных четных / нечетных расширений входных данных DST для N= 9 точек данных (красные точки) для четырех наиболее распространенных типов DST (типы I – IV).

Как и любое преобразование, связанное с Фурье, дискретное синусоидальное преобразование (DST) выражает функцию или сигнал в виде суммы синусоиды с разными частоты и амплитуды. Словно дискретное преобразование Фурье (DFT), DST работает с функцией в конечном числе дискретных точек данных. Очевидное различие между DST и DFT состоит в том, что первый использует только синусоидальные функции, а в последнем используются как косинусы, так и синусы (в виде комплексные экспоненты ). Однако эта видимая разница является лишь следствием более глубокого различия: DST подразумевает разные граничные условия чем DFT или другие связанные преобразования.

Связанные с Фурье преобразования, которые работают с функцией над конечным домен, например DFT или DST или Ряд Фурье, можно рассматривать как неявное определение расширение этой функции вне домена. То есть, как только вы напишете функцию ${ displaystyle f (x)}$ как сумму синусоид, вы можете оценить эту сумму в любом ${ displaystyle x}$ , даже для ${ displaystyle x}$ где оригинал ${ displaystyle f (x)}$ не было указано. ДПФ, как и ряд Фурье, подразумевает периодический расширение исходной функции. DST, как синусоидальное преобразование, подразумевает странный расширение исходной функции.

Однако, поскольку летнее время работает на конечный, дискретный последовательностей возникают две проблемы, которые не относятся к непрерывному синусоидальному преобразованию. Во-первых, нужно указать, является ли функция четной или нечетной в обе левая и правая границы области (т.е. минимальнаяп и макс-п границ в определениях ниже соответственно). Во-вторых, нужно указать около какой момент функция четная или нечетная. В частности, рассмотрим последовательность (а,б,c) трех равноотстоящих точек данных, и говорят, что мы указываем нечетную оставили граница. Есть две разумные возможности: либо данные нечеткие по существу прежний к а, и в этом случае нечетное расширение (-c,−б,−а,0,а,б,c), или данные о точке нечеткие наполовину между а и предыдущий пункт, и в этом случае нечетное расширение (-c,−б,−а,а,б,c)

Этот выбор приводит ко всем стандартным вариантам DST, а также дискретные косинусные преобразования (DCT). Каждая граница может быть четной или нечетной (2 варианта на границу) и может быть симметричной относительно точки данных или точки на полпути между двумя точками данных (2 варианта на границу), всего ${ Displaystyle 2 раз 2 раз 2 раз 2 = 16}$ возможности. Половина этих возможностей, те, где оставили граница нечетная, соответствует 8 типам ДСТ; другая половина - это 8 типов DCT.

Эти различные граничные условия сильно влияют на приложения преобразования и приводят к уникальным полезным свойствам для различных типов DCT. Наиболее прямо, когда используются преобразования Фурье для решения уравнения в частных производных к спектральные методы, граничные условия задаются непосредственно в рамках решаемой задачи.

Определение

Формально дискретное синусоидальное преобразование представляет собой линейный, обратимый функция F : р^N -> р^N (куда р обозначает набор действительные числа ), или, что то же самое, N × N квадратная матрица. Есть несколько вариантов DST с немного измененными определениями. В N действительные числа Икс₀, Икс_{N − 1} превращаются в N действительные числа Икс₀, Икс_{N − 1} по одной из формул:

DST-I

{ displaystyle X_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} sin left [{ frac { pi} {N + 1}} (n + 1) ( k + 1) right] quad quad k = 0, dots, N-1}

Матрица DST-I имеет вид ортогональный (с точностью до масштабного коэффициента).

DST-I в точности эквивалентен DFT реальной последовательности, которая является нечетной около нулевой и средней точек, масштабированной на 1/2. Например, DST-I из N= 3 действительных числа (а,б,c) в точности эквивалентно ДПФ восьми действительных чисел (0,а,б,c,0,−c,−б,−а) (нечетная симметрия) в масштабе 1/2. (Напротив, типы DST II – IV включают сдвиг на половину выборки в эквивалентном DFT.) Это причина того, что N +1 в знаменателе синусоидальной функции: эквивалентное ДПФ имеет 2 (N+1) точек и имеет 2π / 2 (N+1) в его синусоидальной частоте, поэтому DST-I имеет π / (N+1) по частоте.

Таким образом, DST-I соответствует граничным условиям: Икс_п странно вокруг п = −1 и нечетное около п=N; аналогично для Икс_k.

DST-II

{ displaystyle X_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} sin left [{ frac { pi} {N}} left (n + { frac { 1} {2}} right) (k + 1) right] quad quad k = 0, dots, N-1}

Некоторые авторы еще больше умножают Икс_{N − 1} срок на 1 /√2 (см. ниже соответствующие изменения в DST-III). Это делает матрицу DST-II ортогональный (с точностью до масштабного коэффициента), но нарушает прямое соответствие с вещественно-нечетным ДПФ полусмещенного ввода.

DST-II подразумевает граничные условия: Икс_п странно вокруг п = −1/2 и нечетное около п = N − 1/2; Икс_k странно вокруг k = −1 и даже около k = N − 1.

DST-III

{ displaystyle X_ {k} = { frac {(-1) ^ {k}} {2}} x_ {N-1} + sum _ {n = 0} ^ {N-2} x_ {n} sin left [{ frac { pi} {N}} (n + 1) left (k + { frac {1} {2}} right) right] quad quad k = 0, точки, N-1}

Некоторые авторы еще больше умножают Икс_{N − 1} срок до √2 (см. выше соответствующее изменение в DST-II). Это делает матрицу DST-III ортогональный (с точностью до масштабного коэффициента), но нарушает прямое соответствие с вещественно-нечетным ДПФ с полусмещенным выходом.

DST-III подразумевает граничные условия: Икс_п странно вокруг п = −1 и даже около п = N − 1; Икс_k странно вокруг k = −1/2 и нечетное около k = N − 1/2.

DST-IV

{ displaystyle X_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} sin left [{ frac { pi} {N}} left (n + { frac { 1} {2}} right) left (k + { frac {1} {2}} right) right] quad quad k = 0, dots, N-1}

Матрица DST-IV имеет вид ортогональный (с точностью до масштабного коэффициента).

DST-IV подразумевает граничные условия: Икс_п странно вокруг п = −1/2 и даже около п = N - 1/2; аналогично для Икс_k.

Летнее время V – VIII

Типы DST I – IV эквивалентны вещественно-нечетным ДПФ четного порядка. В принципе, на самом деле существует четыре дополнительных типа дискретного синусоидального преобразования (Martucci, 1994), соответствующих вещественно-нечетным ДПФ логически нечетного порядка, коэффициенты которых равны N+1/2 в знаменателе синусоидальных аргументов. Однако на практике эти варианты используются редко.

Обратные преобразования

Обратное к DST-I - это DST-I, умноженное на 2 / (N + 1). Обратное к DST-IV - это DST-IV, умноженное на 2 /N. Обратное к DST-II - это DST-III, умноженное на 2 /N (и наоборот).

Для DFT, коэффициент нормализации перед этими определениями преобразования является просто условием и различается для разных обработок. Например, некоторые авторы умножают преобразования на ${ displaystyle { sqrt {2 / N}}}$ так что обратное не требует какого-либо дополнительного мультипликативного множителя.

Вычисление

Хотя для прямого применения этих формул потребуется O (N²) операций, то же самое можно вычислить, используя только O (N бревно N) сложность путем факторизации вычислений аналогично быстрое преобразование Фурье (БПФ). (Можно также вычислить DST с помощью БПФ в сочетании с O (N) этапы предварительной и постобработки.)

DST-III или DST-IV могут быть вычислены из DCT-III или DCT-IV (см. дискретное косинусное преобразование ), соответственно, изменяя порядок входов и меняя знак каждого другого выхода, и наоборот для DST-II из DCT-II. Таким образом, следует, что типы II – IV DST требуют точно такого же количества арифметических операций (сложения и умножения), что и соответствующие типы DCT.

Библиография

С. А. Мартуччи, "Симметричная свертка и дискретные преобразования синуса и косинуса", IEEE Trans. Сигнальный процесс. СП-42, 1038–1051 (1994).
Маттео Фриго и Стивен Дж. Джонсон: FFTW, http://www.fftw.org/. Бесплатный (GPL ) Библиотека C, которая может вычислять быстрые DST (типы I – IV) в одном или нескольких измерениях произвольного размера. Также М. Фриго и С. Джонсон "Дизайн и реализация FFTW3," Труды IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
Такуя Оура: Пакет БПФ общего назначения, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/fft.html. Бесплатные библиотеки C и FORTRAN для вычисления быстрых DST в одном, двух или трех измерениях, мощность двух размеров.
Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 12.4.1. Синусоидальное преобразование», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88068-8.
Р. Чивукула и Ю. Резник "Быстрое вычисление дискретных косинусных и синусоидальных преобразований типов VI и VII," Proc. SPIE Vol. 8135, 2011.

[1] Abedi, M .; Вс, В .; Чжэн, З. (июль 2019 г.). "Синусоидально-гиперболическое семейство преобразований с потенциальными приложениями при измерении сжатия". IEEE Transactions по обработке изображений. 28 (7): 3571–3583. Bibcode:2019ITIP ... 28.3571A. Дои:10.1109 / TIP.2019.2912355. PMID 31071031.

[2] Британак, Владимир; Ип, Патрик С .; Рао, К. (2010). Дискретные косинусные и синусоидальные преобразования: общие свойства, быстрые алгоритмы и целочисленные приближения. Эльзевир. С. 35–6. ISBN 9780080464640.

[pubDCT-3] Ахмед, Насир; Натараджан, Т .; Рао, К. Р. (январь 1974 г.), «Дискретное косинусное преобразование» (PDF), Транзакции IEEE на компьютерах, С-23 (1): 90–93, Дои:10.1109 / T-C.1974.223784

[Ahmed-4] Ахмед, Насир (Январь 1991 г.). "Как я пришел к дискретному косинусному преобразованию". Цифровая обработка сигналов. 1 (1): 4–5. Дои:10.1016 / 1051-2004 (91) 90086-Z.

[5] Дхамиджа, Свати; Джайн, Приянка (сентябрь 2011 г.). «Сравнительный анализ дискретного синусоидального преобразования как подходящий метод оценки шума». Международный журнал компьютерных наук IJCSI. 8 (Выпуск 5, № 3): 162-164 (162).. Получено 4 ноября 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]