Эффективный потенциал - Effective potential

В эффективный потенциал (также известный как эффективная потенциальная энергия) объединяет несколько, возможно, противоположных эффектов в один потенциал. В своей основной форме это сумма «противоположных» центробежный потенциальная энергия с потенциальная энергия из динамическая система. Его можно использовать для определения орбиты планет (обе Ньютоновский и релятивистский ) и выполнять полуклассические атомные вычисления, что часто позволяет свести проблемы к меньшему количеству размеры.

Определение

Эффективный потенциал. E> 0 гипербола и A₁ перицентр, парабола E = 0 и A₂ перицентр, эллипс E <0 и A₃ перицентр А₃'является апоцентром, E = E_мин круг и А₄ это радиус. Очки А₁, ..., А₄ называются поворотными точками.

Основная форма потенциала ${ displaystyle U _ { text {eff}}}$ определяется как:

${ displaystyle U _ { text {eff}} ( mathbf {r}) = { frac {L ^ {2}} {2 mu r ^ {2}}} + U ( mathbf {r})}$,

куда

L это угловой момент

р это расстояние между двумя массами

μ это уменьшенная масса двух тел (приблизительно равной массе движущегося по орбите тела, если одна масса намного больше другой); и

U (г) это общая форма потенциал.

Таким образом, эффективная сила - это отрицательная величина. градиент эффективного потенциала:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {F} _ { text {eff}} & = - nabla U _ { text {eff}} ( mathbf {r}) & = { frac { L ^ {2}} { mu r ^ {3}}} { hat { mathbf {r}}} - nabla U ( mathbf {r}) end {выровнено}}}$куда ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ обозначает единичный вектор в радиальном направлении.

Важные свойства

Есть много полезных свойств эффективного потенциала, например:

${ Displaystyle U _ { текст {eff}} leq E}$.

Чтобы найти радиус круговой орбиты, просто минимизируйте эффективный потенциал относительно ${ displaystyle r}$, или, что то же самое, установить чистую силу на ноль, а затем решить для ${ displaystyle r_ {0}}$:

${ displaystyle { frac {dU _ { text {eff}}} {dr}} = 0}$

После решения для ${ displaystyle r_ {0}}$, подключите это обратно к ${ displaystyle U _ { text {eff}}}$ найти максимальное значение эффективного потенциала ${ displaystyle U _ { text {eff}} ^ { text {max}}}$.

Круговая орбита может быть стабильной или нестабильной. Если он нестабилен, небольшое возмущение может дестабилизировать орбиту, но устойчивая орбита более устойчива. Чтобы определить устойчивость круговой орбиты, определите вогнутость эффективного потенциала. Если вогнутость положительна, орбита стабильна:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} U _ { text {eff}}} {dr ^ {2}}}> 0}$

Частота малых колебаний, используя основные Гамильтониан анализ, это

${ displaystyle omega = { sqrt { frac {U _ { text {eff}} ''} {m}}}}$,

где двойной штрих указывает вторую производную эффективного потенциала по ${ displaystyle r}$ и оценивается как минимум.

Гравитационный потенциал

Визуализация эффективного потенциала в плоскости, содержащей орбиту (серая модель резинового листа с фиолетовыми контурами равного потенциала), Лагранжевые точки (красный) и планета (синий), вращающаяся вокруг звезды (желтый)^[1]

Рассмотрим частицу массы м вращается вокруг гораздо более тяжелого объекта массы M. Предполагать Ньютоновская механика, который является одновременно классическим и нерелятивистским. Сохранение энергия и угловой момент дать две константы E и L, которые имеют значения

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} m left ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { phi}} ^ {2} right ) - { frac {GmM} {r}},}$

${ Displaystyle L = г-н ^ {2} { точка { phi}} ,}$

когда движение большей массы незначительно. В этих выражениях

${ displaystyle { dot {r}}}$ - производная r по времени,

${ displaystyle { dot { phi}}}$ это угловая скорость массым,

грамм это гравитационная постоянная,

E это полная энергия, а

L это угловой момент.

Требуются только две переменные, поскольку движение происходит в плоскости. Подстановка второго выражения в первое и перестановка дает

${ displaystyle m { dot {r}} ^ {2} = 2E - { frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} + { frac {2GmM} {r}} = 2E- { frac {1} {r ^ {2}}} left ({ frac {L ^ {2}} {m}} - 2GmMr right),}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} m { dot {r}} ^ {2} = E-U _ { text {eff}} (r),}$

куда

${ displaystyle U _ { text {eff}} (r) = { frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - { frac {GmM} {r}}}$

- эффективный потенциал.^{[Примечание 1]} Исходная проблема с двумя переменными была сведена к задаче с одной переменной. Для многих приложений эффективный потенциал можно рассматривать точно так же, как потенциальную энергию одномерной системы: например, энергетическая диаграмма, использующая эффективный потенциал, определяет точки поворота и местоположения стабильных и нестабильных равновесие. Подобный метод может использоваться в других приложениях, например, для определения орбит в общем релятивистском Метрика Шварцшильда.

Эффективные потенциалы широко используются в различных подполях конденсированных сред, например потенциал ядра Гаусса (Likos 2002, Baeurle 2004) и экранированный Кулоновский потенциал (Ликос 2001).

Примечания

Рекомендации

• Хосе, СП; Салетан, EJ (1998). Классическая динамика: современный подход (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63636-0..
• Likos, C.N .; Rosenfeldt, S .; Dingenouts, N .; Баллауфф, М.; Lindner, P .; Werner, N .; Vögtle, F .; и другие. (2002). «Гауссово эффективное взаимодействие гибких дендримеров четвертого поколения: теоретическое и экспериментальное исследование». J. Chem. Phys. 117 (4): 1869–1877. Bibcode:2002ЖЧФ.117.1869Л. Дои:10.1063/1.1486209. Архивировано из оригинал 19 июля 2011 г.

• Baeurle, S.A .; Кроенер Дж. (2004). «Моделирование эффективных взаимодействий мицеллярных агрегатов ионных поверхностно-активных веществ с потенциалом ядра Гаусса». J. Math. Chem. 36 (4): 409–421. Дои:10.1023 / B: JOMC.0000044526.22457.bb.

• Ликос, К. (2001). «Эффективные взаимодействия в физике мягкого конденсированного состояния». Отчеты по физике. 348 (4–5): 267–439. Bibcode:2001ФР ... 348..267Л. CiteSeerX  10.1.1.473.7668. Дои:10.1016 / S0370-1573 (00) 00141-1.