Теорема Эйзенштейна - Википедия - Eisensteins theorem

В математика, Теорема Эйзенштейна, названный в честь немецкого математика Готтхольд Эйзенштейн, применяется к коэффициентам любых степенной ряд который является алгебраическая функция с Рациональное число коэффициенты. С помощью теоремы легко показать, например, что экспоненциальная функция должен быть трансцендентная функция.

Теорема

Предположим, что

${ Displaystyle сумма _ {} ^ {} а_ {п} т ^ {п}}$

это формальный степенной ряд с рациональными коэффициентами а_п, имеющий ненулевое радиус схождения в комплексная плоскость, а внутри представляет собой аналитическая функция это на самом деле алгебраическая функция. Тогда теорема Эйзенштейна утверждает, что существует целое число А, так что А^па_п все целые числа.

Это имеет интерпретацию с точки зрения p-адические числа: при соответствующем расширении идеи п-адический радиус сходимости ряда не менее 1, при почти все п (т.е. простые числа вне конечного множества S). На самом деле это утверждение немного слабее, поскольку игнорирует любые начальные частичная сумма из серии таким образом, чтобы отличаться в соответствии с п. Для остальных простых чисел радиус отличен от нуля.

История

Оригинальная статья Эйзенштейна - это краткое сообщениеÜber eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen Aller Algebraischen Functionen(1852), воспроизведено в Mathematische Gesammelte Werke, Band II, Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк, 1975, стр. 765–767.

Совсем недавно многие авторы исследовали точные и эффективные оценки для количественной оценки вышеуказанных почти все См., Например, разделы 11.4 и 11.55 книги Э. Бомбьери и В. Гублера.

Рекомендации

• Бомбьери, Энрико; Габлер, Вальтер (2008). «Локальная теорема Эйзенштейна: степенной ряд, нормы и локальная теорема Эйзенштейна». Высоты в диофантовой геометрии. Издательство Кембриджского университета. С. 362–376. Дои:10.2277/0521846153.