Равносторонний размер - Equilateral dimension

В математика, то равносторонний размер из метрическое пространство - максимальное количество точек, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга.[1] Равностороннее измерение также называют "метрический параметр ", но термин" метрическое измерение "также имеет много других неэквивалентных употреблений.[1] Равносторонний размер d-размерный Евклидово пространство является d + 1, а равносторонний размер d-размерный векторное пространство с Чебышевская дистанция (L∞ норма) равно 2d. Однако равностороннее измерение пространства с Манхэттенское расстояние (L1 норма) не известно; Гипотеза Куснера, названный в честь Роберт Б. Куснер, утверждает, что это ровно 2d.[2]

Пространства Лебега

Равностороннее измерение особенно изучалось для Пространства Лебега, конечномерные нормированные векторные пространства с Lп норма

Равносторонний размер Lп пространства измерения d ведет себя по-разному в зависимости от значения п:

  • Для п = 1, Lп норма порождает Манхэттенское расстояние. В этом случае можно найти 2d эквидистантные точки, вершины выровненного по оси кросс-многогранник. Равносторонняя размерность равна точно 2.d для d ≤ 4,[3] и быть ограниченным сверху O (d журнал d) для любого d.[4] Роберт Б. Куснер предположил в 1983 году, что равностороннее измерение для этого случая должно быть ровно 2d;[5] это предложение (вместе с соответствующим предложением для равностороннего измерения, когда п > 2) стал известен как Гипотеза Куснера.
  • Для 1 < п <2, равносторонний размер не менее (1 + е)d где ε - постоянная, зависящая от п.[6]
  • Для п = 2, Lп норма знакомая Евклидово расстояние. Равностороннее измерение d-размерный Евклидово пространство является d + 1: the d + 1 вершины равносторонний треугольник, правильный тетраэдр, или многомерные регулярные симплекс образуют равносторонний набор, и каждый равносторонний набор должен иметь эту форму.[5]
  • Для 2 < п <∞, равносторонняя размерность не менее d + 1: например d базисные векторы векторного пространства вместе с другим вектором вида (−Икс, −Икс, ...) для подходящего выбора Икс образуют равносторонний набор. Гипотеза Куснера утверждает, что в этих случаях равносторонняя размерность в точности равна d + 1. Гипотеза Куснера была доказана для частного случая, когда п = 4.[6] Когда п является нечетным целым числом, равносторонняя размерность которого ограничена сверху величиной O (d журнал d).[4]
  • Для п = ∞ (предельный случай Lп норма для конечных значений п, в пределе как п растет до бесконечности) Lп норма становится Чебышевская дистанция, максимальное абсолютное значение разностей координат. Для d-мерное векторное пространство с чебышёвским расстоянием, равносторонняя размерность 2d: 2d вершины выровненного по оси гиперкуб находятся на равном расстоянии друг от друга, и равносторонний набор большего размера невозможен.[5]

Нормированные векторные пространства

Равносторонний размер также был рассмотрен для нормированные векторные пространства с нормами, отличными от Lп норм. Проблема определения равностороннего измерения для данной нормы тесно связана с проблема с числом поцелуев: число поцелуев в нормированном пространстве - это максимальное количество непересекающихся трансляций единичного шара, которые могут все касаться одного центрального шара, тогда как равностороннее измерение - это максимальное количество непересекающихся трансляций, которые все могут касаться друг друга.

Для нормированного векторного пространства размерности d, равносторонняя размерность не превосходит 2d; то есть L∞ норма имеет самую высокую равностороннюю размерность среди всех нормированных пространств.[7] Мелкий (1971) спросил, каждое ли нормированное векторное пространство размерности d имеет равносторонний размер не менее d + 1, но это остается неизвестным. Существуют нормированные пространства в любом измерении, для которых определенные наборы из четырех равносторонних точек не могут быть расширены до любого большего равностороннего множества.[7] но у этих пространств могут быть более крупные равносторонние множества, которые не включают эти четыре точки. Для норм, достаточно близких по Расстояние Банаха – Мазура в Lп норма, на вопрос Петти есть положительный ответ: равносторонняя размерность не менее d + 1.[8]

Для пространств высокой размерности невозможно иметь ограниченную равностороннюю размерность: для любого целого k, все нормированные векторные пространства достаточно большой размерности имеют равностороннюю размерность не менее k.[9] более конкретно, согласно разновидности Теорема Дворецкого от Алон и Милман (1983), каждые d-мерное нормированное пространство имеет k-мерное подпространство, близкое либо к евклидову, либо к чебышёвскому пространству, где

для некоторой постоянной c. Поскольку оно близко к пространству Лебега, это подпространство и, следовательно, все пространство содержит равностороннее множество не менее k +1 балл. Следовательно, та же суперлогарифмическая зависимость от d для нижней границы равносторонней размерности d-мерное пространство.[8]

Римановы многообразия

Для любого d-размерный Риманово многообразие равносторонний размер не менее d + 1.[5] Для d-размерный сфера, равносторонний размер равен d + 2, так же, как для евклидова пространства одного более высокого измерения, в которое можно вложить сферу.[5] В то же время, когда он сформулировал гипотезу Кузнера, Куснер спросил, существуют ли римановы метрики с ограниченной размерностью как многообразие, но со сколь угодно высокой равносторонней размерностью.[5]

Заметки

  1. ^ а б Деза и Деза (2009)
  2. ^ Парень (1983); Кулен, Лоран и Шрайвер (2000).
  3. ^ Бандельт, Чепои и Лоран (1998); Кулен, Лоран и Шрайвер (2000).
  4. ^ а б Алон и Пудлак (2003).
  5. ^ а б c d е ж Парень (1983).
  6. ^ а б Свейнпол (2004).
  7. ^ а б Мелкий (1971).
  8. ^ а б Свейнпол и Вилла (2008).
  9. ^ Брасс (1999); Свейнпол и Вилла (2008).

использованная литература

  • Алон, Н.; Мильман, В.Д. (1983), "Вложение в конечномерных банаховых пространствах », Израильский математический журнал, 45 (4): 265–280, Дои:10.1007 / BF02804012, Г-Н  0720303.
  • Алон, Нога; Пудлак, Павел (2003), "Равносторонние заходит в лпп", Геометрический и функциональный анализ, 13 (3): 467–482, Дои:10.1007 / s00039-003-0418-7, Г-Н  1995795.
  • Бандельт, Ханс-Юрген; Чепой, Виктор; Лоран, Моник (1998), «Вложение в прямолинейные пространства» (PDF), Дискретная и вычислительная геометрия, 19 (4): 595–604, Дои:10.1007 / PL00009370, Г-Н  1620076.
  • Брасс, Питер (1999), «О равносторонних симплексах в нормированных пространствах», Вклад в алгебру и геометрию, 40 (2): 303–307, Г-Н  1720106.
  • Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний, Springer-Verlag, стр. 20.
  • Гай, Ричард К. (1983), "Олла-подрида открытых проблем, часто странно поставленных", Американский математический ежемесячный журнал, 90 (3): 196–200, Дои:10.2307/2975549, JSTOR  2975549, Г-Н  1540158.
  • Кулен, Джек; Лоран, Моник; Шрайвер, Александр (2000), «Равностороннее измерение прямолинейного пространства», Конструкции, коды и криптография, 21 (1): 149–164, Дои:10.1023 / А: 1008391712305, Г-Н  1801196.
  • Петти, Клинтон М. (1971), "Равносторонние множества в пространствах Минковского", Труды Американского математического общества, 29 (2): 369–374, Дои:10.1090 / S0002-9939-1971-0275294-8, Г-Н  0275294.
  • Свейнпол, Конрад Дж. (2004), "Проблема Куснера на равносторонних множествах", Archiv der Mathematik, 83 (2): 164–170, arXiv:математика / 0309317, Дои:10.1007 / s00013-003-4840-8, Г-Н  2104945.
  • Swanepoel, Konrad J .; Вилла, Рафаэль (2008), "Нижняя граница равностороннего числа нормированных пространств", Труды Американского математического общества, 136 (1): 127–131, arXiv:математика / 0603614, Дои:10.1090 / S0002-9939-07-08916-2, Г-Н  2350397.