Эрозия (морфология) - Erosion (morphology)

Эрозия темно-синего квадрата диском, в результате чего получился голубой квадрат.

Эрозия (обычно представлен ⊖) - одна из двух основных операций (вторая - расширение ) в морфологическая обработка изображений на котором основаны все остальные морфологические операции. Первоначально он был определен для двоичные изображения, позже расширенный до оттенки серого изображения, а затем полные решетки. Для операции эрозии обычно используется структурирующий элемент для исследования и уменьшения форм, содержащихся во входном изображении.

Бинарная эрозия

В бинарной морфологии изображение рассматривается как подмножество из Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ или целое число сетка ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {d}}$ , для некоторого измерения d.

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой заранее заданной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующий элемент, и сам по себе является двоичным изображением (т. е. подмножеством пространства или сетки).

Позволять E быть евклидовым пространством или целочисленной сеткой, и А двоичное изображение в E. эрозия двоичного изображения А структурирующим элементом B определяется:

{ Displaystyle A ominus B = {z in E | B_ {z} substeq A }}

,

где B_z это перевод B вектором z, т.е. ${ displaystyle B_ {z} = {b + z | b in B }}$ , ${ displaystyle forall z in E}$ .

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E, то эрозия А от B можно понимать как геометрическое место точек, достигаемых центром B когда B движется внутрь А. Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском с радиусом 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Эрозия А от B также задается выражением: ${ displaystyle A ominus B = bigcap _ {b in B} A _ {- b}}$ , где А_−b обозначает перевод А от -b.

пример

Предположим, что A - это матрица 13 x 13, а B - матрица 3 x 3:

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладывать происхождение B, если B полностью содержится в A, пиксель сохраняется, иначе удаляется.

Следовательно Эрозия матрицы A на B задается этой матрицей 13 x 13.

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Это означает, что только когда B полностью содержится внутри A значения пикселей сохраняются, в противном случае они удаляются или размываются.

Свойства

Эрозия инвариант перевода.
это увеличение, то есть если ${ displaystyle A substeq C}$ , тогда ${ Displaystyle А ominus B substeq C ominus B}$ .
Если происхождение E принадлежит к элементу структурирования B, то эрозия антиэкстенсивный, т.е. ${ Displaystyle A ominus B substeq A}$ .
Эрозия удовлетворяет ${ Displaystyle (A ominus B) oplus C = A ominus (B oplus C)}$ , где ${ displaystyle oplus}$ обозначает морфологическая дилатация.
Эрозия распределительный над установить пересечение

Эрозия в оттенках серого

Пример эрозии на изображении в градациях серого с использованием плоского структурирующего элемента 5x5. На верхнем рисунке показано применение окна структурирующего элемента к отдельным пикселям исходного изображения. На нижнем рисунке показано получившееся размытое изображение.

В оттенки серого морфология, изображения функции отображение Евклидово пространство или сетка E в ${ Displaystyle mathbb {R} чашка { infty, - infty }}$ , где ${ Displaystyle mathbb {R}}$ это набор реалы, ${ displaystyle infty}$ является элементом больше любого действительного числа, и ${ displaystyle - infty}$ это элемент меньше любого действительного числа.

Обозначение изображения f (x) и элемент структурирования оттенков серого б (х), где B - пространство, в котором определяется b (x), эрозия оттенков серого ж от б дан кем-то

{ Displaystyle (е ominus b) (x) = inf _ {y in B} [f (x + y) -b (y)]}

,

где "inf" обозначает инфимум.

Другими словами, размытие точки - это минимум точек в ее окрестности, причем эта окрестность определяется элементом структурирования. В этом отношении он похож на многие другие фильтры изображений, такие как средний фильтр и фильтр Гаусса.

Эрозии на полных решетках

Полные решетки находятся частично упорядоченные наборы, где каждое подмножество имеет инфимум и супремум. В частности, он содержит наименьший элемент и величайший элемент (также обозначается «вселенная»).

Позволять ${ Displaystyle (L, leq)}$ - полная решетка, нижняя и верхняя грань которой символизируются ${ displaystyle wedge}$ и ${ displaystyle vee}$ соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются U и ${ displaystyle emptyset}$ соответственно. Кроме того, пусть ${ displaystyle {X_ {i} }}$ быть набором элементов из L.

Эрозия в ${ Displaystyle (L, leq)}$ любой оператор ${ displaystyle varepsilon: L rightarrow L}$ который распределяет по инфимуму и сохраняет вселенную. То есть:

${ Displaystyle bigwedge _ {я} varepsilon (X_ {i}) = varepsilon left ( bigwedge _ {i} X_ {i} right)}$ ,
${ Displaystyle varepsilon (U) = U}$ .

Смотрите также

использованная литература

Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жан Серра, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Введение в морфологическую обработку изображений Эдвард Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Морфологический анализ изображений; Принципы и применение Пьер Сойль, ISBN 3-540-65671-5 (1999)
Р. К. Гонсалес и Р. Э. Вудс, Цифровая обработка изображений, 2-е изд. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2002.