Экстремальные порядки арифметической функции - Extremal orders of an arithmetic function

В математика особенно в теория чисел, то экстремальные порядки арифметической функции наилучшие возможные границы данного арифметическая функция. В частности, если ж(п) - арифметическая функция и м(п) - неубывающая функция это в конечном итоге положительно и

{displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {f (n)} {m (n)}} = 1}

мы говорим, что м это минимальный заказ за ж. Аналогично, если M(п) - неубывающая функция, которая в конечном итоге положительна и

{displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {f (n)} {M (n)}} = 1}

мы говорим, что M это максимальный порядок за ж.^[1]^:80 Здесь, ${displaystyle liminf _ {нет информации}}$ и ${displaystyle limsup _ {нет информации}}$ обозначить ограничивать низшее и ограничивать высшее, соответственно.

Этот предмет впервые систематически изучал Рамануджан с 1915 г.^[1]^:87

Примеры

Для функция суммы делителей σ (п) получаем тривиальный результат

{displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {sigma (n)} {n}} = 1}

потому что всегда σ (п) ≥ п и для простые числа σ (п) = п + 1. У нас также есть

{displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {sigma (n)} {nln ln n}} = e ^ {gamma},}

доказано Gronwall в 1913 г.^[1]^:86^[2]^{:Теорема 323.}^[3] Следовательно п минимальный порядок и е^−γ п ln lnп является максимальным порядком для σ (п).

Для Эйлер тотиент φ (п) получаем тривиальный результат

{displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {phi (n)} {n}} = 1}

потому что всегда φ (п) ≤ п а для простых чисел φ (п) = п - 1. У нас также есть

{displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {phi (n) ln ln n} {n}} = e ^ {- gamma},}

доказано Ландо в 1903 г.^[1]^:84^[2]^{:Теорема 328.}

Для количество делителей функция d(п) имеем тривиальную нижнюю оценку 2 ≤ d(п), в котором равенство имеет место при п простое число, поэтому 2 - минимальный порядок. Для lnd(п) имеем максимальный порядок ln 2 lnп / ln lnп, доказанный Вигертом в 1907 г.^[1]^:82^[2]^{:Теорема 317.}
По количеству различных главные факторы ω (п) имеем тривиальную нижнюю грань 1 ≤ ω (п), в котором равенство имеет место при п это основная сила. Максимальный порядок для ω (п) является перп / ln lnп.^[1]^:83
Для числа простых множителей, считанных с кратностью Ω (п) имеем тривиальную нижнюю грань 1 ≤ Ω (п), в котором равенство имеет место при п простое. Максимальный порядок для Ω (п) является перп / ln 2^[1]^:83
это предполагаемый что Функция Мертенса, или сумматорную функцию Функция Мёбиуса, удовлетворяет ${displaystyle limsup _ {nightarrow infty} {frac {| M (x) |} {sqrt {x}}} = + infty,}$ хотя на сегодняшний день было показано, что это превышение предела больше небольшой константы. Это утверждение сравнивается с опровержением Гипотеза Мертенса данные Odlyzko и te Riele в их прорывной статье, созданной несколько десятилетий назад. Опровержение гипотезы Мертенса. Напротив, мы отмечаем, что, хотя обширные вычислительные данные предполагают, что вышеприведенная гипотеза верна, то есть в некоторой возрастающей последовательности ${displaystyle {x_ {n}} _ {ngeq 1}}$ стремящийся к бесконечности средний порядок ${displaystyle {sqrt {x_ {n}}} | M (x_ {n}) |}$ растет безгранично, что Гипотеза Римана эквивалентно пределу ${displaystyle lim _ {xightarrow infty} M (x) / x ^ {{гидроразрыв {1} {2}} + varepsilon} = 0}$ верно для всех (достаточно мало) ${displaystyle varepsilon> 0}$ .

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования по высшей математике. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7.
^ ^а ^б ^c Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0.
^ Гронуолл, Т. Х. (1913). «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел». Труды Американского математического общества. 14 (4): 113–122. Дои:10.1090 / с0002-9947-1913-1500940-6.

дальнейшее чтение

Николас, Ж.-Л. (1988). «О сильно составных числах». В Эндрюс, Г. Э.; Аски, Р.А.; Берндт, Б.С.; Раманатан, К. Г. (ред.). Рамануджан снова. Академическая пресса. стр.215–244. ISBN 978-0-12-058560-1. Обзор экстремальных порядков с обширной библиографией.

[Tenenbaum-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования по высшей математике. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7.

[HW-2] а ^б ^c Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0.

[3] Гронуолл, Т. Х. (1913). «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел». Труды Американского математического общества. 14 (4): 113–122. Дои:10.1090 / с0002-9947-1913-1500940-6.

[1]

[2]

[3]