Средний порядок арифметической функции - Average order of an arithmetic function

В теория чисел, средний порядок арифметической функции - это некоторая более простая или лучше понятная функция, которая "в среднем" принимает те же значения.

Позволять ${displaystyle f}$ быть арифметическая функция. Мы говорим, что средний заказ из ${displaystyle f}$ является ${displaystyle g}$ если

{displaystyle sum _ {nleq x} f (n) sim sum _ {nleq x} g (n)}

в качестве ${displaystyle x}$ стремится к бесконечности.

Обычно выбирают аппроксимирующую функцию ${displaystyle g}$ то есть непрерывный и монотонный. Но даже в этом случае средний заказ, конечно, не уникален.

В случаях, когда лимит

{displaystyle lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} sum _ {nleq N} f (n) = c}

существует, говорят, что ${displaystyle f}$ имеет среднее значение (Средняя стоимость) ${displaystyle c}$ .

Примеры

Средний порядок $d (п)$ , то количество делителей из $п$ , является $бревно п$ ;
Средний порядок $σ (п)$ , то сумма делителей из $п$ , является $п π 2 / 6$ ;
Средний порядок $φ (п)$ , Функция Эйлера из $п$ , является $6 п / π 2$ ;
Средний порядок $р (п)$ , количество способов выражения $п$ в виде суммы двух квадратов $π$ ;
Средний порядок представления натурального числа в виде суммы трех квадратов равен $4π п / 3$ ;
Среднее количество разложений натурального числа в сумму одного или нескольких последовательных простых чисел равно $п log2$ ;
Средний порядок $ω (п)$ , то количество различных простых множителей из $п$ , является $журнал п$ ;
Средний порядок $Ω (п)$ , то количество простых факторов из $п$ , является $журнал п$ ;
В теорема о простых числах эквивалентно утверждению, что функция фон Мангольдта $Λ (п)$ имеет средний порядок 1;
Средний порядок $μ (п)$ , то Функция Мёбиуса, равно нулю; это снова эквивалентно теорема о простых числах.

Расчет средних значений с использованием ряда Дирихле

В случае ${displaystyle F}$ имеет форму

{displaystyle F (n) = сумма _ {dmid n} f (d),}

для некоторой арифметической функции ${displaystyle f (n)}$ , надо,

{displaystyle sum _ {nleq x} F (n) = sum _ {dleq x} f (d) sum _ {nleq x, dmid n} 1 = sum _ {dleq x} f (d) [x / d] = xsum _ {dleq x} {frac {f (d)} {d}} {ext {}} + O (sum _ {dleq x} | f (d) |) .qquad qquad (1)}

Найдены обобщения предыдущего тождества. здесь. Это тождество часто обеспечивает практический способ вычисления среднего значения с точки зрения Дзета-функция Римана. Это показано в следующем примере.

Плотность k-й степени свободных целых чисел в $N$

Для целого числа ${displaystyle kgeq 1}$ набор ${displaystyle Q_ {k}}$ из k-th-power-свободный целые числа

{displaystyle Q_ {k}: = {nin mathbb {Z} mid n {ext {не делится на}} d ^ {k} {ext {для любого целого числа}} dgeq 2}.}

Мы рассчитываем естественная плотность из этих чисел в $N$ , то есть среднее значение ${displaystyle 1_ {Q_ {k}}}$ , обозначаемый ${displaystyle delta (n)}$ , с точки зрения дзета-функция.

Функция ${displaystyle delta}$ мультипликативен, и, поскольку он ограничен 1, его Серия Дирихле абсолютно сходится в полуплоскости ${displaystyle mathrm {Re} (s)> 1}$ , и есть Произведение Эйлера

{displaystyle sum _ {Q_ {k}} n ^ {- s} = sum _ {n} delta (n) n ^ {- s} = prod _ {p} (1 + p ^ {- s} + cdots + p ^ {- s (k-1)}) = prod _ {p} left ({frac {1-p ^ {- sk}} {1-p ^ {- s}}} ight) = {frac {zeta (s)} {zeta (sk)}}.}

Посредством Инверсия Мёбиуса формула, получаем

{displaystyle {frac {1} {zeta (ks)}} = sum _ {n} mu (n) n ^ {- ks},}

куда ${displaystyle mu}$ стоит за Функция Мёбиуса. Эквивалентно

{displaystyle {frac {1} {zeta (ks)}} = sum _ {n} f (n) n ^ {- s},}

куда ${displaystyle f (n) = {egin {cases} ;;, mu (d) & n = d ^ {k} ;;, 0 & {ext {else}}, end {cases}}}$

и поэтому,

{displaystyle {frac {zeta (s)} {zeta (sk)}} = sum _ {n} (sum _ {dmid n} f (d)) n ^ {- s}.}

Сравнивая коэффициенты, получаем

{displaystyle delta (n) = sum _ {dmid n} f (d) n ^ {- s}.}

Используя (1), получаем

{displaystyle sum _ {dleq x} delta (d) = xsum _ {dleq x} (f (d) / d) + O (x ^ {1 / k}).}

Мы заключаем, что,

{displaystyle sum _ {nin Q_ {k}, nleq x} 1 = {frac {x} {zeta (k)}} + O (x ^ {1 / k}),}

где для этого использовалось соотношение

{displaystyle sum _ {n} (f (n) / n) = sum _ {n} f (n ^ {k}) n ^ {- k} = sum _ {n} mu (n) n ^ {- k } = {гидроразрыв {1} {zeta (k)}},}

которое следует из формулы обращения Мёбиуса.

В частности, плотность целые числа без квадратов является ${displaystyle zeta (2) ^ {- 1} = {гидроразрыв {6} {pi ^ {2}}}}$ .

Видимость точек решетки

Мы говорим, что две точки решетки видны одна из другой, если на соединяющем их открытом отрезке нет точки решетки.

Теперь, если gcd (а, б) = d > 1, тогда запись а = да², б = db² можно заметить, что точка (а², б²) находится на отрезке, который соединяет (0,0) с (а, б) и поэтому (а, б) не видно из исходной точки. Таким образом (а, б) видна из начала координат, следует, что (а, б) = 1. Обратно, также легко увидеть, что gcd (а, б) = 1 означает, что на отрезке, соединяющем (0,0) с (а,б).Таким образом, (а, б) виден из (0,0) тогда и только тогда, когда gcd (а, б) = 1.

Заметь ${displaystyle {frac {varphi (n)} {n}}}$ вероятность случайной точки на квадрате ${displaystyle {(r, s) в mathbb {N}: max (| r |, | s |) = n}}$ быть видимым из исходной точки.

Таким образом, можно показать, что естественная плотность точек, видимых из начала координат, определяется средним значением,

{displaystyle lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} sum _ {nleq N} {frac {varphi (n)} {n}} = {frac {6} {pi ^ {2}}} = {frac {1} {zeta (2)}}.}

${displaystyle {frac {1} {zeta (2)}}}$ также является естественной плотностью бесквадратных чисел в $N$ . На самом деле это не совпадение. Рассмотрим k-мерная решетка, ${displaystyle mathbb {Z} ^ {k}}$ . Естественная плотность точек, видимых из начала координат, равна ${displaystyle {frac {1} {zeta (k)}}}$ , которая также является естественной плотностью k-ые свободные целые числа в $N$ .

Функции делителя

Рассмотрим обобщение ${displaystyle d (n)}$ :

{displaystyle sigma _ {alpha} (n) = sum _ {dmid n} d ^ {alpha}.}

Верно следующее:

{displaystyle sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = {egin {cases} ;; sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = {frac {zeta (alpha +1)} { альфа +1}} x ^ {альфа +1} + O (x ^ {eta}) & {ext {if}} альфа> 0, ;; сумма _ {nleq x} sigma _ {- 1} (n) = zeta (2) x + O (log x) & {ext {if}} alpha = -1, ;; sum _ {nleq x} sigma _ {alpha} (n) = zeta (-alpha +1) x + O (x ^ {max (0,1 + alpha)}) & {ext {иначе.}} End {case}}}

куда ${displaystyle eta = max (1, альфа)}$ .

Лучше средний заказ

Это понятие лучше всего пояснить на примере. Из

{displaystyle sum _ {nleq x} d (n) = xlog x + (2gamma -1) x + o (x)}

( ${displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони ) и

{displaystyle sum _ {nleq x} log n = xlog x-x + O (log x),}

имеем асимптотическое соотношение

{displaystyle sum _ {nleq x} (d (n) - (log n + 2gamma)) = o (x) quad (xightarrow infty),}

что предполагает, что функция ${displaystyle log n + 2gamma}$ лучший выбор среднего заказа для ${displaystyle d (n)}$ чем просто ${displaystyle log n}$ .

Средние значения более $F q [Икс]$

Определение

Позволять час(Икс) - функция на множестве монические полиномы над F_q. За ${displaystyle ngeq 1}$ мы определяем

{displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (h) = {frac {1} {q ^ {n}}} sum _ {f {ext {monic}}, deg (f) = n} h (f ).}

Это среднее значение (среднее значение) час на множестве монических многочленов степени п. Мы говорим что грамм(п) является средний заказ из час если

{displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (h) sim g (n)}

в качестве п стремится к бесконечности.

В случаях, когда лимит,

{displaystyle lim _ {nightarrow infty} {ext {Ave}} _ {n} (h) = c}

существует, говорят, что час имеет среднее значение (Средняя стоимость) c.

Дзета-функция и ряд Дирихле в $F q [ИКС]$

Позволять $F q [ИКС]$ =А быть кольцо многочленов над конечное поле $F q$ .

Позволять час быть полиномиальной арифметической функцией (т.е. функцией на множестве монических многочленов над А). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

{displaystyle D_ {h} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}

где для ${Displaystyle джин A}$ , набор ${displaystyle | g | = q ^ {deg (g)}}$ если ${displaystyle geq 0}$ , и ${displaystyle | g | = 0}$ иначе.

Тогда полиномиальная дзета-функция будет

{displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f {ext {monic}}} | f | ^ {- s}.}

Аналогично ситуации в $N$ , каждая серия Дирихле мультипликативная функция час имеет товарное представление (произведение Эйлера):

{displaystyle D_ {h} (s) = prod _ {P} (сумма _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} h (P ^ {n}) | P | ^ {- sn}),}

Где произведение пробегает все монические неприводимые многочлены п.

Например, представление продукта дзета-функции такое же, как для целых чисел: ${displaystyle zeta _ {A} (s) = prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}}$ .

В отличие от классического дзета-функция, ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$ простая рациональная функция:

${displaystyle zeta _ {A} (s) = sum _ {f} (| f | ^ {- s}) = sum _ {n} sum _ {ext {deg (f) = n}} q ^ {- sn } = сумма _ {n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}$

Аналогично, если ƒ и грамм две полиномиальные арифметические функции, одна определяет ƒ * грамм, то Свертка Дирихле из ƒ и грамм, к

{displaystyle {egin {align} (f * g) (m) & = sum _ {d, mid, m} f (m) gleft ({frac {m} {d}} ight) & = sum _ {ab , =, m} f (a) g (b) конец {выровнено}}}

где сумма распространяется на все монические делители d изм, или эквивалентно по всем парам (а, б) монических многочленов, произведение которых равно м. Личность ${displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$ все еще держится. Таким образом, как и в элементарной теории, полиномиальный ряд Дирихле и дзета-функция связаны с понятием средних значений в контексте полиномов. Следующие примеры иллюстрируют это.

Примеры

Плотность k-й степени свободные многочлены от $F q [ИКС]$

Определять ${displaystyle delta (f)}$ быть 1, если ${displaystyle f}$ является k-я степень бесплатно и 0 в противном случае.

Рассчитываем среднее значение ${displaystyle delta}$ , которая представляет собой плотность k-й степени свободные многочлены от $F q [ИКС]$ таким же образом, как и в целых числах.

По мультипликативности ${displaystyle delta}$ :

{displaystyle sum _ {f} {frac {delta (f)} {| f | ^ {s}}} = prod _ {P} (sum _ {jmathop {=} 0} ^ {k-1} (| P | ^ {- js})) = prod _ {P} {frac {1- | P | ^ {- sk}} {1- | P | ^ {- s}}} = {frac {zeta _ {A} (s)} {zeta _ {A} (sk)}} = {frac {1-q ^ {1-ks}} {1-q ^ {1-s}}} = {frac {zeta _ {A} (s)} {zeta _ {A} (ks)}}}

Обозначить ${displaystyle b_ {n}}$ количество kУнитарные многочлены степени п, мы получили

{displaystyle sum _ {f} {frac {delta (f)} {| f | ^ {s}}} = sum _ {n} sum _ {{ext {def}} f = n} delta (f) | f | ^ {- s} = sum _ {n} b_ {n} q ^ {- sn}.}

Делаем замену ${displaystyle u = q ^ {- s}}$ мы получили:

{displaystyle {frac {1-qu ^ {k}} {1-qu}} = sum _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} b_ {n} u ^ {n}.}

Наконец, разверните левую часть в геометрический ряд и сравните коэффициенты на ${displaystyle u ^ {n}}$ с обеих сторон, чтобы сделать вывод, что

${displaystyle b_ {n} = {egin {case} ;;, q ^ {n} & nleq k-1 ;;, q ^ {n} (1-q ^ {1-k}) & {ext {иначе} } конец {случаи}}}$

Следовательно,

${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (delta) = 1-q ^ {1-k} = {frac {1} {zeta _ {A} (k)}}}$

И поскольку это не зависит от п это также среднее значение ${displaystyle delta (f)}$ .

Функции полиномиального делителя

В $F q [ИКС]$ , мы определяем

{displaystyle sigma _ {k} (m) = sum _ {f | m, {ext {monic}}} | f | ^ {k}.}

Мы вычислим ${displaystyle {ext {Ave}} _ {n} (sigma _ {k})}$ за ${displaystyle kgeq 1}$ .

Во-первых, обратите внимание, что

{displaystyle sigma _ {k} (m) = h * mathbb {I} (m)}

куда ${displaystyle h (f) = | f | ^ {k}}$ и ${displaystyle; mathbb {I} (f) = 1 ;; forall {f}}$ .

Следовательно,

{displaystyle sum _ {m} sigma _ {k} (m) | m | ^ {- s} = zeta _ {A} (s) sum _ {m} h (m) | m | ^ {- s}. }

Заменять ${displaystyle q ^ {- s} = u}$ мы получили,

{displaystyle {ext {LHS}} = sum _ {n} (sum _ {deg (m) = n} sigma _ {k} (m)) u ^ {n}}

, и по Продукт Коши мы получили,

{displaystyle {egin {выравнивается} {ext {RHS}} & = sum _ {n} q ^ {n (1-s)} sum _ {n} (sum _ {deg (m) = n} h (m) ) u ^ {n} & = sum _ {n} q ^ {n} u ^ {n} sum _ {l} q ^ {l} q ^ {lk} u ^ {l} & = sum _ { n} (сумма _ {jmathop {=} 0} ^ {n} q ^ {nj} q ^ {jk + j}) & = sum _ {n} (q ^ {n} ({frac {1-q ^ {k (n + 1)}} {1-q ^ {k}}})) u ^ {n} .end {выровнено}}}

Наконец мы получаем это,

{displaystyle {ext {Ave}} _ {n} sigma _ {k} = {frac {1-q ^ {k (n + 1)}} {1-q ^ {k}}}.}

Заметь

{displaystyle q ^ {n} {ext {Ave}} _ {n} sigma _ {k} = q ^ {n (k + 1)} ({frac {1-q ^ {- k (n + 1)}) } {1-q ^ {- k}}}) = q ^ {n (k + 1)} ({frac {zeta (k + 1)} {zeta (kn + k + 1)}})}

Таким образом, если положить ${displaystyle x = q ^ {n}}$ тогда результат выше читается

{displaystyle sum _ {deg (m) = n, m {ext {monic}}} sigma _ {k} (m) = x ^ {k + 1} ({frac {zeta (k + 1)} {zeta ( kn + k + 1)}})}

что напоминает аналогичный результат для целых чисел:

${displaystyle sum _ {nleq x} sigma _ {k} (n) = {frac {zeta (k + 1)} {k + 1}} x ^ {k + 1} + O (x ^ {k})}$

Количество делителей

Позволять ${displaystyle d (f)}$ быть числом монических делителей числа ж и разреши ${displaystyle D (n)}$ быть суммой ${displaystyle d (f)}$ по всем моникам степени n.

${displaystyle zeta _ {A} (s) ^ {2} = (sum _ {h} | h | ^ {- s}) (sum _ {g} | g | ^ {- s}) = sum _ {f } (сумма _ {hg = f} 1) | f | ^ {- s} = sum _ {f} d (f) | f | ^ {- s} = D_ {d} (s) = sum _ {nmathop {=} 0} ^ {infty} D (n) u ^ {n}}$

куда ${displaystyle u = q ^ {- s}}$ .

Раскладывая правую часть в степенной ряд, получаем

{displaystyle D (n) = (n + 1) q ^ {n}.}

Заменять ${displaystyle x = q ^ {n}}$ приведенное выше уравнение становится:

{displaystyle D (n) = xlog _ {q} (x) + x}

что очень похоже на аналогичный результат для целых чисел

{displaystyle sum _ {kmathop {=} 1} ^ {n} d (k) = xlog x + (2gamma -1) x + O ({sqrt {x}})}

, куда

{displaystyle gamma}

является Постоянная Эйлера.

О члене ошибки для целых чисел известно немного, в то время как в случае полиномов члена ошибки нет! Это связано с очень простой природой дзета-функции. ${displaystyle zeta _ {A} (s)}$ , и что в нем НЕТ нулей.

Полиномиальная функция фон Мангольдта

Полином функция фон Мангольдта определяется: ${displaystyle Lambda _ {A} (f) = {egin {cases} log | P | & {mbox {if}} f = | P | ^ {k} {ext {для некоторого простого монического числа}} P {ext {и целое число}} kgeq 1, 0 & {mbox {в противном случае.}} end {case}}}$

Где логарифм берется на основе q.

Предложение. Среднее значение ${displaystyle Lambda _ {A}}$ точно 1.

Доказательство.Позволять м - монический многочлен, и пусть ${displaystyle m = prod _ {imathop {=} 1} ^ {l} P_ {i} ^ {e_ {i}}}$ - разложение m на простые числа.

У нас есть,

{displaystyle {egin {align} sum _ {f | m} Lambda _ {A} (f) & = sum _ {(i_ {1}, ldots, i_ {l}) | 0leq i_ {j} leq e_ {j }} Лямбда _ {A} (prod _ {jmathop {=} 1} ^ {l} P_ {j} ^ {i_ {j}}) = sum _ {jmathop {=} 1} ^ {l} sum _ { imathop {=} 1} ^ {e_ {i}} Lambda _ {A} (P_ {j} ^ {i}) = sum _ {jmathop {=} 1} ^ {l} sum _ {imathop {=} 1 } ^ {e_ {i}} log | P_ {j} | & = sum _ {jmathop {=} 1} ^ {l} e_ {j} log | P_ {j} | = sum _ {jmathop {=} 1} ^ {l} журнал | P_ {j} | ^ {e_ {j}} = журнал | (prod _ {imathop {=} 1} ^ {l} P_ {i} ^ {e_ {i}}) | & = log (m) конец {выровнено}}}

Следовательно,

{displaystyle mathbb {I} cdot Lambda _ {A} (m) = log | m |}

и мы получаем это,

{displaystyle zeta _ {A} (s) D_ {Lambda _ {A}} (s) = sum _ {m} log | m || m | ^ {- s}.}

Сейчас же,

{displaystyle sum _ {m} | m | ^ {s} = sum _ {n} sum _ {deg m = n} u ^ {n} = sum _ {n} q ^ {n} u ^ {n} = сумма _ {n} q ^ {n (1-s)}.}

Таким образом,

{displaystyle {frac {d} {ds}} sum _ {m} | m | ^ {s} = - sum _ {n} log (q ^ {n}) q ^ {n (1-s)} = - sum _ {n} sum _ {deg (f) = n} log (q ^ {n}) q ^ {- ns} = - sum _ {f} log | f || f | ^ {- s}.}

Мы получили это:

{displaystyle D_ {Lambda _ {A}} (s) = {frac {-zeta '_ {A} (s)} {zeta _ {A} (s)}}}

Сейчас же,

{displaystyle sum _ {m} Lambda _ {A} (m) | m | ^ {- s} = sum _ {n} (sum _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m) q ^ {-sm}) = sum _ {n} (sum _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m)) u ^ {n} = {frac {-zeta '_ {A} (s) } {zeta _ {A} (s)}} = {frac {q ^ {1-s} log (q)} {1-q ^ {1-s}}} = log (q) sum _ {nmathop { =} 1} ^ {infty} q ^ {n} u ^ {n}}

Следовательно,

{displaystyle sum _ {deg (m) = n} Lambda _ {A} (m) = q ^ {n} log (q),}

и разделив на ${displaystyle q ^ {n}}$ мы получаем это,

{displaystyle {ext {Ave}} _ {n} Lambda _ {A} (m) = log (q) = 1.}

Полиномиальная функция Эйлера

Определять Функция Эйлера полиномиальный аналог, ${displaystyle Phi}$ , чтобы быть количеством элементов в группе ${displaystyle (A / fA) ^ {*}}$ . У нас есть,

{displaystyle sum _ {deg f = n, f {ext {monic}}} Phi (f) = q ^ {2n} (1-q ^ {- 1}).}

Средний порядок арифметической функции - Average order of an arithmetic function

Содержание

Примеры

Расчет средних значений с использованием ряда Дирихле