Факториальная производящая функция момента - Factorial moment generating function

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Факторная производящая функция момента»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория вероятности и статистика, то производящая функция факториального момента из распределение вероятностей из ценный случайная переменная Икс определяется как

${ Displaystyle M_ {X} (t) = operatorname {E} { bigl [} t ^ {X} { bigr]}}$

для всех сложные числа т для чего это ожидаемое значение существуют. Так по крайней мере для всех т на единичный круг ${ Displaystyle | т | = 1}$, видеть характеристическая функция. ЕслиИкс дискретная случайная величина, принимающая значения только в множестве {0,1, ...} неотрицательных целые числа, тогда ${ displaystyle M_ {X}}$ также называется функция, генерирующая вероятность из Икс и ${ Displaystyle M_ {X} (т)}$ хорошо определен по крайней мере для всех т на закрыто единичный диск ${ Displaystyle | т | leq 1}$.

Факториальная функция, производящая момент, порождает факториальные моменты из распределение вероятностей.При условии ${ displaystyle M_ {X}}$ существует в район из т = 1, п-й факторный момент определяется выражением ^[1]

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {n}] = M_ {X} ^ {(n)} (1) = left. { frac { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} t ^ {n}}} right | _ {t = 1} M_ {X} (t),}$

где Символ Поххаммера (Икс)_п это падающий факториал

${ Displaystyle (х) _ {п} = х (х-1) (х-2) cdots (х-п + 1). ,}$

(Многие математики, особенно в области специальные функции, используйте те же обозначения для представления возрастающий факториал.)

Пример

Предполагать Икс имеет распределение Пуассона с ожидаемое значение λ, то его производящая функция факториального момента равна

${ Displaystyle M_ {X} (t) = sum _ {k = 0} ^ { infty} t ^ {k} underbrace { operatorname {P} (X = k)} _ {= , lambda ^ {k} e ^ {- lambda} / k!} = e ^ {- lambda} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(t lambda) ^ {k}} {k!}} = e ^ { lambda (t-1)}, qquad t in mathbb {C},}$

(использовать определение экспоненциальной функции ) и, таким образом, имеем

${ displaystyle operatorname {E} [(X) _ {n}] = lambda ^ {n}.}$

Смотрите также

• Момент (математика)
• Функция создания моментов
• Кумулянт-производящая функция