Поддельная проективная плоскость - Fake projective plane

Пример Фридмана негладкого многообразия того же гомотопического типа, что и комплексная проективная плоскость, см. 4-х коллекторный.

В математике поддельная проективная плоскость (или же Поверхность Мамфорда) является одним из 50 комплексных алгебраические поверхности которые имеют то же самое Бетти числа как проективная плоскость, но не изоморфный к нему. Такие объекты всегда алгебраичны. поверхности общего типа.

История

Севери спросил, существует ли комплексная поверхность, гомеоморфная проективной плоскости, но не биголоморфная ей. Яу (1977) показал, что такой поверхности не существует, поэтому наиболее близким приближением к проективной плоскости, которое может быть, будет поверхность с такими же числами Бетти (б0,б1,б2,б3,б4) = (1,0,1,0,1) как проективную плоскость. Первый пример нашел Мамфорд (1979) с помощью п-адическая униформа введены независимо Курихарой ​​и Мустафиным. Мамфорд также заметил, что результат Яу вместе с теоремой Вейля о жесткости дискретных кокомпактных подгрупп в PU (1,2) означает, что существует только конечное число ложных проективных плоскостей. Исида и Като (1998) нашел еще два примера, используя похожие методы, и Кеум (2006) нашел пример с автоморфизмом порядка 7, бирациональным циклическому покрытию степени 7 Долгачева поверхность. Прасад и Юнг (2007), Прасад и Юнг (2010) нашли систематический способ классификации всех поддельных проективных плоскостей, показав, что существует двадцать восемь классов, каждый из которых содержит по крайней мере пример поддельной проективной плоскости с точностью до изометрии, и что может быть не более пяти дополнительных классов, которые были позже показаны не существовать. Проблема перечисления всех ложных проективных плоскостей сводится к перечислению всех подгрупп соответствующего индекса явно заданной решетки, связанной с каждым классом. Расширяя эти вычисления Картрайт и Стегер (2010) показал, что двадцать восемь классов исчерпывают все возможности ложных проективных плоскостей и что всего существует 50 примеров, определенных с точностью до изометрии, или 100 поддельных проективных плоскостей с точностью до биголоморфизма.

Поверхность общего типа с теми же числами Бетти, что и минимальная поверхность не общего типа, должна иметь числа Бетти любой проективной плоскости. п2 или квадрика п1×п1. Шавель (1978) построил некоторые «поддельные квадрики»: поверхности общего типа с теми же числами Бетти, что и квадрики. Поверхности Бовиля приведите дополнительные примеры.

Многомерные аналоги ложных проективных поверхностей называются поддельные проективные пространства.

Фундаментальная группа

Как следствие работы Обена и Яу по решению гипотезы Калаби в случае отрицательной кривизны Риччи, см. Яу (1977, 1978 ), любая фальшивая проективная плоскость является делением комплексного единичного шара в 2 измерениях на дискретная подгруппа, какой фундаментальная группа ложной проективной плоскости. Следовательно, эта фундаментальная группа должна быть без кручения и компактный дискретная подгруппа PU (2,1) Характеристика Эйлера-Пуанкаре 3. Клинглер (2003) и Юнг (2004) показал, что эта фундаментальная группа также должна быть арифметическая группа. Результаты сильной жесткости Мостова следует, что фундаментальная группа определяет ложную плоскость в строгом смысле, что любая компактная поверхность с той же фундаментальной группой должна быть ей изометрична.

Две ложные проективные плоскости определены как находящиеся в одной и той же учебный класс если их фундаментальные группы содержатся в одной и той же максимальной арифметической подгруппе автоморфизмов единичного шара. Прасад и Юнг (2007), Прасад и Юнг (2010) использовали формулу объема для арифметических групп из (Прасад 1989 ), чтобы перечислить 28 непустых классов ложных проективных плоскостей и показать, что может быть не более пяти дополнительных классов, существование которых не ожидается. (См. Приложение к документу, в котором классификация была уточнена и некоторые ошибки в исходной статье были исправлены.) Картрайт и Стегер (2010) проверил, что пяти дополнительных классов действительно не существует, и перечислил все возможности в двадцати восьми классах. Существует ровно 50 ложных проективных плоскостей, классифицированных с точностью до изометрии, и, следовательно, 100 различных ложных проективных плоскостей, классифицированных с точностью до биголоморфизма.

Фундаментальная группа ложной проективной плоскости является арифметической подгруппой в PU (2,1). Написать k для связанного числового поля (полностью реального поля) и грамм для связанных k-форма ПУ (2,1). Если л является квадратичным продолжением k в течение которого грамм это внутренняя форма, тогда л это полностью воображаемое поле. Есть алгебра с делением D с центром л и степень более л 3 или 1, с инволюцией второго рода, которая ограничивается нетривиальным автоморфизмом л над k, и нетривиальный Эрмитова форма на модуле над D размерности 1 или 3 такой, что грамм - специальная унитарная группа этой эрмитовой формы. (Как следствие Прасад и Юнг (2007) и работы Картрайта и Стегера, D имеет степень 3 выше л и модуль имеет размерность 1 больше D.) Есть одно реальное место k такие, что точки грамм образуют копию PU (2,1), а поверх всех остальных реальных мест k они образуют компактную группу PU (3).

В результате Прасад и Юнг (2007) группа автоморфизмов ложной проективной плоскости является либо циклической группой порядка 1, 3 или 7, либо нециклической группой порядка 9, либо неабелевой группой порядка 21. Факторы ложных проективных плоскостей по этим группы были изучены Кеум (2008) а также Картрайт и Стегер (2010).

Список 50 фальшивых проективных плоскостей

kлТиндексПоддельные проективные плоскости
QQ (√−1)533 фейковых самолета в 3-х классах
Q (√−2)333 фейковых самолета в 3-х классах
Q (√−7)2217 фейковых самолетов в 2-х классах. Один из этих классов содержит примеры Мамфорда и Кеума.
2, 334 фейковых самолета в 2-х классах
2, 512 фейковых самолета в 2-х классах
Q (√−15)2310 фальшивых самолетов 4 классов, включая образцы, основанные Исидой и Като.
Q (√−23)212 фейковых самолета в 2-х классах
Q (√2)Q (√−7+4√2)232 фейковых самолета в 2-х классах
Q (√5)Q (√5, ζ3)297 фейковых самолетов в 2-х классах
Q (√6)Q (√6, ζ3)2 или 2,31 или 3 или 95 фейковых самолетов в 3-х классах
Q (√7)Q (√7, ζ4)2 или 3,321 или 3,35 фейковых самолетов в 3-х классах
  • k это совершенно реальное поле.
  • л является полностью мнимым квадратичным расширением k, и ζ3 является кубическим корнем из 1.
  • Т это набор простых чисел k где некоторая локальная подгруппа не является гиперспециальной.
  • индекс - индекс фундаментальной группы в некоторой арифметической группе.

Рекомендации

внешняя ссылка