Система дробного порядка - Википедия - Fractional-order system

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Система дробного порядка»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (июнь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В областях динамические системы и теория управления, а система дробного порядка представляет собой динамическую систему, которая может быть смоделирована дробное дифференциальное уравнение содержащий производные нецелого порядка.^[1] Говорят, что такие системы имеют дробная динамика. Производные и интегралы дробных порядков используются для описания объектов, которые можно охарактеризовать сила закона нелокальность,^[2] сила закона дальнодействующая зависимость или же фрактал характеристики. Системы дробного порядка полезны при изучении аномального поведения динамических систем в физике. электрохимия, биология, вязкоупругость и хаотические системы.^[1]

Определение

Общая динамическая система дробного порядка может быть записана в виде^[3]

${ Displaystyle H (D ^ { alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {m}}) (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {l }) = G (D ^ { beta _ {1}, beta _ {2}, ldots, beta _ {n}}) (u_ {1}, u_ {2}, ldots, u_ {k })}$

куда ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle G}$ являются функциями дробная производная оператор ${ displaystyle D}$ заказов ${ displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {m}}$ и ${ displaystyle beta _ {1}, beta _ {2}, ldots, beta _ {n}}$ и ${ displaystyle y_ {i}}$ и ${ displaystyle u_ {j}}$ являются функциями времени. Частным частным случаем этого является линейный инвариантный во времени (LTI) в одной переменной:

${ displaystyle left ( sum _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} D ^ { alpha _ {k}} right) y (t) = left ( sum _ {k = 0 } ^ {n} b_ {k} D ^ { beta _ {k}} right) u (t)}$

Заказы ${ displaystyle alpha _ {k}}$ и ${ displaystyle beta _ {k}}$ в целом сложные количества, но два интересных случая: когда заказы соразмерный

${ displaystyle alpha _ {k}, beta _ {k} = k delta, quad delta in R ^ {+}}$

и когда они тоже рациональный:

${ displaystyle alpha _ {k}, beta _ {k} = k delta, quad delta = { frac {1} {q}}, q in Z ^ {+}}$

Когда ${ displaystyle q = 1}$, производные имеют целочисленный порядок, и система становится обыкновенное дифференциальное уравнение. Таким образом, за счет увеличения специализации системы LTI могут иметь общий порядок, соразмерный порядок, рациональный порядок или целочисленный порядок.

Функция передачи

Применяя Преобразование Лапласа к системе LTI выше, функция передачи становится

${ displaystyle G (s) = { frac {Y (s)} {U (s)}} = { frac { sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {k} s ^ { beta _ {k}}} { sum _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} s ^ { alpha _ {k}}}}}$

Для общих заказов ${ displaystyle alpha _ {k}}$ и ${ displaystyle beta _ {k}}$ это нерациональная передаточная функция. Нерациональные передаточные функции не могут быть записаны в виде разложения конечного числа членов (например, биномиальное разложение будет иметь бесконечное количество членов), и в этом смысле можно сказать, что системы дробных порядков обладают потенциалом неограниченной памяти.^[3]

Мотивация к изучению систем дробного порядка

Экспоненциальные законы - это классический подход к изучению динамики плотности населения, но есть много систем, в которых динамика подчиняется более быстрым или медленным, чем экспоненциальным законам. В таком случае аномальные изменения динамики лучше всего описываются Функции Миттаг-Леффлера.^[4]

Аномальная диффузия - еще одна динамическая система, в которой системы дробного порядка играют важную роль в описании аномального потока в процессе диффузии.

Вязкоупругость это свойство материала, в котором материал проявляет свою природу между чисто эластичной и чистой жидкостью. В случае реальных материалов соотношение между напряжением и деформацией определяется выражением Закон Гука и Закон Ньютона у обоих есть очевидные недостатки. Так Г. В. Скотт Блэр представил новую взаимосвязь между напряжением и деформацией, определяемую

${ displaystyle sigma (t) = E {D_ {t} ^ { alpha}} varepsilon (t), quad 0 < alpha <1.}$^{[нужна цитата ]}

В теория хаоса, было замечено, что хаос возникает в динамические системы порядка 3 и более. С введением систем дробного порядка некоторые исследователи изучают хаос в системах общего порядка меньше 3.^[5]

Анализ дробно-дифференциальных уравнений

Рассмотрим дробный порядок проблема начального значения:

${ displaystyle {_ {0} ^ {C} D_ {t} ^ { alpha}} x (t) = f (t, x (t)), quad t in [0, T], quad x (0) = x_ {0}, quad 0 < alpha <1.}$

Существование и уникальность

Здесь, при условии непрерывности функции f, можно преобразовать указанное выше уравнение в соответствующее интегральное уравнение.

${ displaystyle x (t) = x_ {0} + {_ {0} ^ {C} D_ {t} ^ {- alpha}} f (t, x (t)) = x_ {0} + { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {t} { frac {f (s, x (s)) , ds} {(ts) ^ {1- alpha }}},}$

Можно построить пространство решений и определить с помощью этого уравнения непрерывное отображение себя на пространстве решений, а затем применить теорема о неподвижной точке, чтобы получить фиксированная точка, которое является решением вышеуказанного уравнения.

Численное моделирование

Для численного моделирования решения вышеуказанных уравнений Кай Дитхельм предложил дробно-линейный многоступенчатый Метод Адамса – Башфорта или же квадратурные методы.^[6]

Смотрите также

• Акустическое затухание
• Дифферинтегральный
• Дробное исчисление
• Дробный контроль заказов
• Интегратор дробного порядка
• Дробное уравнение Шредингера
• Дробная квантовая механика

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Применение дробного исчисления в автоматическом управлении и робототехнике Учебник по дробному исчислению, системам дробного порядка и теории управления дробным порядком.