Полностью неприводимый автоморфизм - Fully irreducible automorphism

По математическому предмету геометрическая теория групп, а полностью неприводимый автоморфизм из свободная группа F_п является элементом Вне(F_п) который не имеет периодических классов сопряженности собственных свободных сомножителей в F_п (где п > 1). Полностью неприводимые автоморфизмы также называют «неприводимыми с неприводимыми степенями» или «iwip» автоморфизмами. Представление о полной неприводимости дает ключ к выходу (F_п) аналог понятия псевдоаносовский элемент из группа классов отображения поверхности конечного типа. Полностью неприводимые элементы играют важную роль в изучении структурных свойств отдельных элементов и подгрупп Out (F_п).

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ где ${ Displaystyle п geq 2}$ . потом ${ displaystyle varphi}$ называется полностью неприводимый^[1] если не существует целого числа ${ displaystyle p neq 0}$ и надлежащий свободный фактор ${ displaystyle A}$ из ${ displaystyle F_ {n}}$ такой, что ${ Displaystyle varphi ^ {p} ([A]) = [A]}$ , где ${ displaystyle [A]}$ класс сопряженности ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle F_ {n}}$ . Здесь говорится, что ${ displaystyle A}$ собственно свободный фактор ${ displaystyle F_ {n}}$ Значит это ${ displaystyle A neq 1}$ и существует подгруппа ${ Displaystyle B leq F_ {n}, B neq 1}$ такой, что ${ displaystyle F_ {n} = A ast B}$ .

Также, ${ displaystyle Phi in operatorname {Aut} (F_ {n})}$ называется полностью неприводимый если внешний класс автоморфизмов ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ из ${ displaystyle Phi}$ полностью неприводимо.

Две полностью неприводимые ${ displaystyle varphi, psi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ называются независимый если ${ Displaystyle langle varphi rangle cap langle psi rangle = {1 }}$ .

Связь с неприводимыми автоморфизмами

Представление о полной неприводимости выросло из более старого представления о «неприводимом» внешнем автоморфизме ${ displaystyle F_ {n}}$ первоначально представленный в.^[2] Элемент ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , где ${ Displaystyle п geq 2}$ , называется несводимый если не существует свободной декомпозиции продукта

{ Displaystyle F_ {п} = A_ {1} ast dots ast A_ {k} ast C}

с участием ${ Displaystyle к geq 1}$ , и с ${ Displaystyle A_ {я} neq 1, я = 1, точки k}$ быть собственными свободными факторами ${ displaystyle F_ {n}}$ , так что ${ displaystyle varphi}$ переставляет классы сопряженности ${ Displaystyle [A_ {1}], точки, [A_ {k}]}$ .

потом ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ полностью неприводимо в смысле приведенного выше определения тогда и только тогда, когда для каждого ${ displaystyle p neq 0}$ ${ displaystyle varphi ^ {p}}$ неприводимо.

Известно, что для любого аториоидальный ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ (то есть без периодических классов сопряженности нетривиальных элементов ${ displaystyle F_ {n}}$ ) неприводимость равносильна полной неприводимости.^[3] Для неатороидальных автоморфизмов Бествина и Гендель^[2] привести пример неприводимого, но не полностью неприводимого элемента ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ , индуцированная подходящим образом выбранным псевдоаносовским гомеоморфизмом поверхности с более чем одной компонентой границы.

Свойства

Если ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ и ${ displaystyle p neq 0}$ тогда ${ displaystyle varphi}$ полностью неприводимо тогда и только тогда, когда ${ displaystyle varphi ^ {p}}$ полностью неприводимо.
Каждый полностью неприводимый ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ можно представить в виде расширяющейся неприводимой карта пути поезда.^[2]
Каждый полностью неприводимый ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ имеет экспоненциальный рост в ${ displaystyle F_ {n}}$ данный коэффициент растяжения ${ displaystyle lambda = lambda ( varphi)> 1}$ . Этот коэффициент растяжения обладает тем свойством, что для каждой бесплатной основы ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle F_ {n}}$ (и, в более общем смысле, для каждой точки Каллера – Фогтмана Космическое пространство ${ displaystyle X in cv_ {n}}$ ) и для каждого ${ displaystyle 1 neq g in F_ {n}}$ надо:

{ displaystyle lim _ {k to infty} { sqrt [{k}] { | varphi ^ {k} (g) | _ {X}}} = lambda.}

Более того, ${ displaystyle lambda = lambda ( varphi)}$ равно Собственное значение Перрона – Фробениуса матрицы перехода любого железнодорожного пути, представляющего ${ displaystyle varphi}$ .^[2]^[4]

В отличие от факторов растяжения псевдоаносовских поверхностных гомеоморфизмов, может случиться так, что для полностью неприводимой ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ надо ${ displaystyle lambda ( varphi) neq lambda ( varphi ^ {- 1})}$ ^[5] и такое поведение считается общим. Однако Гендель и Мошер^[6] доказал, что для каждого ${ Displaystyle п geq 2}$ существует конечная постоянная ${ Displaystyle 0$ такой, что для каждого полностью неприводимого ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$

{ displaystyle { frac { log lambda ( varphi)} { log lambda ( varphi ^ {- 1})}} leq C_ {n}.}

Полностью неприводимый ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ является неаториоидальный, т. е. имеет периодический класс сопряженности нетривиального элемента из ${ displaystyle F_ {n}}$ , если и только если ${ displaystyle varphi}$ индуцирован псевдоаносовским гомеоморфизмом компактной связной поверхности с одной компонентой границы и фундаментальной группой, изоморфной ${ displaystyle F_ {n}}$ .^[2]
Полностью неприводимый элемент ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ имеет ровно две неподвижные точки в компактификации Терстона ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ проецируемого космического пространства ${ displaystyle CV_ {n}}$ , и ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ действует на ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ с динамикой «Север-Юг».^[7]
Для полностью неприводимого элемента ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , его неподвижные точки в ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ проецируются ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -деревья ${ Displaystyle [Т _ {+} ( varphi)], [T _ {-} ( varphi)]}$ , где ${ displaystyle T _ {+} ( varphi), T _ {-} ( varphi) in { overline {cv}} _ {n}}$ , удовлетворяющие свойству ${ Displaystyle T _ {+} ( varphi) varphi = lambda ( varphi) T _ {+} ( varphi)}$ и ${ Displaystyle T _ {-} ( varphi) varphi ^ {- 1} = lambda ( varphi ^ {- 1}) T _ {-} ( varphi)}$ .^[8]
Полностью неприводимый элемент ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ действует на пространстве проективизированных геодезических токов ${ displaystyle mathbb {P} Curr (F_ {n})}$ с динамикой «Север-Юг» или «обобщенной Север-Юг», в зависимости от того, ${ displaystyle varphi}$ является аториоидальным или неаториоидальным.^[9]^[10]
Если ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ полностью неприводимо, то соизмеритель ${ Displaystyle Comm ( langle varphi rangle) leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ практически цикличен.^[11] В частности, централизатор и нормализатор из ${ Displaystyle langle varphi rangle}$ в ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ практически цикличны.
Если ${ displaystyle varphi, psi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ являются независимыми вполне неприводимыми, то ${ displaystyle [T _ { pm} ( varphi)], [T _ { pm} ( psi)] in { overline {CV}} _ {n}}$ четыре различные точки, и существует ${ displaystyle M geq 1}$ так что для каждого ${ displaystyle p, q geq M}$ подгруппа ${ displaystyle langle varphi ^ {p}, psi ^ {q} rangle leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ изоморфен ${ displaystyle F_ {2}}$ .^[8]
Если ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ полностью неприводимо и ${ displaystyle varphi in H leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ , то либо ${ displaystyle H}$ практически цикличен или ${ displaystyle H}$ содержит подгруппу, изоморфную ${ displaystyle F_ {2}}$ .^[8] [Это утверждение представляет собой сильную форму Альтернатива сисек для подгрупп ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ содержащие полностью неприводимые.]
Если ${ displaystyle H leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ - произвольная подгруппа, то либо ${ displaystyle H}$ содержит полностью неприводимый элемент, либо существует подгруппа конечного индекса ${ Displaystyle H_ {0} leq H}$ и надлежащий свободный фактор ${ displaystyle A}$ из ${ displaystyle F_ {n}}$ такой, что ${ displaystyle H_ {0} [A] = [A]}$ .^[12]
Элемент ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ действует как локсодромная изометрия на свободный факторный комплекс ${ displaystyle { mathcal {FF}} _ {n}}$ если и только если ${ displaystyle varphi}$ полностью неприводимо.^[13]
Известно, что «случайные» (в смысле случайных блужданий) элементы ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ полностью неприводимы. Точнее, если ${ displaystyle mu}$ это мера на ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ чей носитель порождает полугруппу в ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ содержащий некоторые две независимые полностью неприводимые. Тогда для случайного блуждания длины ${ displaystyle k}$ на ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ определяется по ${ displaystyle mu}$ вероятность того, что мы получим полностью неприводимый элемент, сходится к 1 при ${ Displaystyle к к infty}$ .^[14]
Полностью неприводимый элемент ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ допускает (как правило, неединственный) периодический ось в первом томе нормализованное космическое пространство ${ displaystyle X_ {n}}$ , которая является геодезической относительно асимметричной липшицевой метрики на ${ displaystyle X_ {n}}$ и обладает сильными свойствами типа «сжатия».^[15] Связанный объект, определенный для атороидального полностью неприводимого ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , это связка осей ${ Displaystyle А _ { varphi} substeq X_ {п}}$ , что является определенным ${ displaystyle varphi}$ -инвариантное замкнутое подмножество собственных гомотопий, эквивалентных прямой.^[16]

использованная литература

^ Тьерри Кулбуа и Арно Иилион, Ботаника неприводимых автоморфизмов свободных групп, Тихоокеанский математический журнал 256 (2012), 291–307
^ ^а ^б ^c ^d ^е Младен Бествина и Майкл Гендель, Тренируйте треки и автоморфизмы свободных групп. Анналы математики (2), т. 135 (1992), нет. 1. С. 1–51.
^ Илья Капович, Алгоритмическая обнаруживаемость автоморфизмов iwip. Бюллетень Лондонского математического общества 46 (2014), нет. 2, 279–290.
^ Олег Богопольский. Введение в теорию групп. Учебники EMS по математике. Европейское математическое общество, Цюрих, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8
^ Майкл Гендель и Ли Мошер, Парагеометрические внешние автоморфизмы свободных групп. Труды Американского математического общества 359 (2007), нет. 7, 3153–3183
^ Майкл Гендель, Ли Мошер, Факторы расширения внешнего автоморфизма и его обратного. Труды Американского математического общества 359 (2007), нет. 7, 3185–3208
^ Гилберт Левитт и Мартин Лустиг, Автоморфизмы свободных групп имеют асимптотически периодическую динамику.^{[постоянная мертвая ссылка ]} Журнал Крелля, т. 619 (2008), стр. 1–36
^ ^а ^б ^c Младен Бествина, Марк Файн и Майкл Гендель, Ламинирования, деревья и неприводимые автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ (GAFA) 7 (1997), 215–244.
^ Чаглар Уяник, Динамика гиперболических iwips. Конформная геометрия и динамика 18 (2014), 192–216.
^ Чаглар Уяник, Обобщенная динамика север-юг на пространстве геодезических течений. Geometriae Dedicata 177 (2015), 129–148.
^ Илья Капович и Мартин Люстиг, Стабилизаторы ℝ-деревья со свободными изометрическими действиями F_N. Журнал теории групп 14 (2011), нет. 5, 673–694.
^ Камилла Хорбез, Краткое доказательство альтернативы Генделя и Мошера для подгрупп группы Вне(F_N). Группы, геометрия и динамика 10 (2016), нет. 2, 709–721.
^ Младен Бествина и Марк Файн, Гиперболичность комплекса свободных факторов. Успехи в математике 256 (2014), 104–155.
^ Джозеф Махер и Джулио Тиоццо, Случайные блуждания по слабо гиперболическим группам, Журнал für die reine und angewandte Mathematik, Впереди печати (январь 2016 г.); c.f. Теорема 1.4.
^ Яэль Алгом-Кфир,Сильно сужающиеся геодезические в космическом пространстве. Геометрия и топология 15 (2011), нет. 4, 2181–2233.
^ Майкл Гендель и Ли Мошер,Топоры в космическом пространстве. Мемуары Американского математического общества 213 (2011), нет. 1004; ISBN 978-0-8218-6927-7.

дальнейшее чтение

Тьерри Кулбуа и Арно Хилион, Ботаника неприводимых автоморфизмов свободных групп, Тихоокеанский математический журнал 256 (2012), 291–307.
Карен Фогтманн, О геометрии космического пространства. Бюллетень Американского математического общества 52 (2015), нет. 1, 27–46.

[1] Тьерри Кулбуа и Арно Иилион, Ботаника неприводимых автоморфизмов свободных групп, Тихоокеанский математический журнал 256 (2012), 291–307

[BH92-2] а ^б ^c ^d ^е Младен Бествина и Майкл Гендель, Тренируйте треки и автоморфизмы свободных групп. Анналы математики (2), т. 135 (1992), нет. 1. С. 1–51.

[3] Илья Капович, Алгоритмическая обнаруживаемость автоморфизмов iwip. Бюллетень Лондонского математического общества 46 (2014), нет. 2, 279–290.

[4] Олег Богопольский. Введение в теорию групп. Учебники EMS по математике. Европейское математическое общество, Цюрих, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8

[5] Майкл Гендель и Ли Мошер, Парагеометрические внешние автоморфизмы свободных групп. Труды Американского математического общества 359 (2007), нет. 7, 3153–3183

[6] Майкл Гендель, Ли Мошер, Факторы расширения внешнего автоморфизма и его обратного. Труды Американского математического общества 359 (2007), нет. 7, 3185–3208

[7] Гилберт Левитт и Мартин Лустиг, Автоморфизмы свободных групп имеют асимптотически периодическую динамику.^{[постоянная мертвая ссылка ]} Журнал Крелля, т. 619 (2008), стр. 1–36

[BFH97-8] а ^б ^c Младен Бествина, Марк Файн и Майкл Гендель, Ламинирования, деревья и неприводимые автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ (GAFA) 7 (1997), 215–244.

[9] Чаглар Уяник, Динамика гиперболических iwips. Конформная геометрия и динамика 18 (2014), 192–216.

[10] Чаглар Уяник, Обобщенная динамика север-юг на пространстве геодезических течений. Geometriae Dedicata 177 (2015), 129–148.

[11] Илья Капович и Мартин Люстиг, Стабилизаторы ℝ-деревья со свободными изометрическими действиями F_N. Журнал теории групп 14 (2011), нет. 5, 673–694.

[12] Камилла Хорбез, Краткое доказательство альтернативы Генделя и Мошера для подгрупп группы Вне(F_N). Группы, геометрия и динамика 10 (2016), нет. 2, 709–721.

[13] Младен Бествина и Марк Файн, Гиперболичность комплекса свободных факторов. Успехи в математике 256 (2014), 104–155.

[14] Джозеф Махер и Джулио Тиоццо, Случайные блуждания по слабо гиперболическим группам, Журнал für die reine und angewandte Mathematik, Впереди печати (январь 2016 г.); c.f. Теорема 1.4.

[15] Яэль Алгом-Кфир,Сильно сужающиеся геодезические в космическом пространстве. Геометрия и топология 15 (2011), нет. 4, 2181–2233.

[16] Майкл Гендель и Ли Мошер,Топоры в космическом пространстве. Мемуары Американского математического общества 213 (2011), нет. 1004; ISBN 978-0-8218-6927-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]