Обобщенная коническая - Generalized conic

В математика, а обобщенная коническая это геометрический объект определяется свойством, которое является обобщение некоторого определяющего свойства классической конический. Например, в элементарная геометрия, эллипс можно определить как локус точки, которая движется в плоскости так, что сумма расстояний от двух фиксированных точек - фокусы - в самолете это постоянная величина. Кривая, полученная при замене набора двух неподвижных точек произвольным, но фиксированным, конечным набором точек на плоскости, называется кривой. п-эллипс и его можно рассматривать как обобщенный эллипс. Поскольку эллипс - это эквидистантный набор из двух окружностей эквидистантный набор из двух произвольных наборов точек на плоскости можно рассматривать как обобщенную конику. В прямоугольном Декартовы координаты, уравнение у = Икс² представляет парабола. Обобщенное уравнение у = Икс ^р, за р ≠ 0 и р 1, можно рассматривать как определение обобщенной параболы. Идея обобщенной коники нашла применение в теория приближения и теория оптимизации.^[1]

Среди нескольких возможных способов обобщения концепции коники наиболее широко используется подход, определяющий ее как обобщение эллипс. Отправной точкой для этого подхода является рассмотрение эллипса как кривой, удовлетворяющей «свойству двух фокусов»: эллипс - это кривая, которая представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек постоянна. Две точки - это фокусы эллипса. Кривая, полученная заменой набора двух фиксированных точек произвольным, но фиксированным, конечным набором точек на плоскости, может рассматриваться как обобщенный эллипс. Обобщенные коники с тремя фокусами называются трифокальными эллипсами. В дальнейшем это можно обобщить на кривые, которые получаются как локусы точек, которые движутся так, что некоторые из средневзвешенное арифметическое расстояний от конечного множества точек является константой. Дальнейшее обобщение возможно, если предположить, что веса, прикрепленные к расстояниям, могут иметь произвольный знак, а именно плюс или минус. Наконец, можно снять ограничение на конечность множества неподвижных точек, называемых множеством фокусов обобщенной коники. Набор можно считать конечным или бесконечным. В бесконечном случае среднее арифметическое взвешенное должно быть заменено соответствующим интегралом. Обобщенные коники в этом смысле также называют полиэллипсы, яичные яйца, или же, обобщенные эллипсы. Поскольку такие кривые рассматривал немецкий математик Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус (1651 - 1708) они также известны как Tschirnhaus'sche Eikurve.^[2] Также такие обобщения обсуждались Рене Декарт^[3] и Джеймс Клерк Максвелл.^[4]

Мультифокальные овальные кривые

Построение овала, определяемого AP + 2BP = c используя булавки, карандаш и веревку, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Построение овала, определяемого AP + BP + CP = c используя булавки, карандаш и веревку, как описано Джеймсом Клерком Максвеллом.

Рене Декарт (1596–1650), отец аналитической геометрии, в своей «Геометрии», опубликованной в 1637 году, выделил раздел примерно из 15 страниц, чтобы обсудить то, что он назвал бифокальными эллипсами. Бифокальный овал определялся как геометрическое место точки. п который движется в плоскости так, что ${ displaystyle AP + lambda BP = c}$ куда А и B неподвижные точки на плоскости и λ и c - константы, которые могут быть положительными или отрицательными. Декарт ввел эти овалы, которые теперь известны как Декартовы овалы, чтобы определить такие поверхности стекла, чтобы после преломления лучи встречались в одной точке. Декарт также признал эти овалы как обобщения центральных коник, потому что для определенных значений λ эти овалы сводятся к знакомым центральным коникам, а именно к кругу, эллипсу или гиперболе.^[3]

Мультифокальные овалы были заново открыты Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879), когда он был еще школьником. В молодом возрасте 15 лет Максвелл написал научную статью об этих овалах под названием «Наблюдения за ограниченными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусов различных пропорций», и представил ее профессору Дж. Д. Форбсу на заседании Королевского общества. из Эдинбурга в 1846 году. Профессор Дж. Д. Форбс также опубликовал отчет о работе в Трудах Королевского общества Эдинбурга.^[4][5] В своей статье, хотя Максвелл не использовал термин «обобщенная коника», он рассматривал кривые, определяемые условиями, которые были обобщениями определяющего условия эллипса.

Определение

Мультифокальный овал - это кривая, которая определяется как геометрическое место точки, движущейся так, что

${ displaystyle lambda _ {1} A_ {1} P + lambda _ {2} A_ {2} P + cdots + lambda _ {n} A_ {n} P = c}$

куда А₁, А₂, . . . , А_п неподвижные точки на плоскости и λ₁, λ₂, . . . , λ_п фиксированные рациональные числа и c является константой. Он дал простые методы рисования таких овалов.

Метод рисования овала определяется уравнением ${ displaystyle AP + 2BP = c}$ иллюстрирует общий подход, принятый Максвеллом для построения таких кривых. Зафиксируйте два штифта в фокусах А и B. Возьмем строку длиной c + AB и привяжите один конец веревки к булавке на А. К другому концу веревки прикрепляется карандаш, и веревка пропускается вокруг булавки в фокусе. B. Затем карандаш перемещается, ориентируясь на конец струны. Кривая, начерченная карандашом, - это геометрическое место п. Его изобретательность более заметна в его описании метода рисования трехфокусного овала, определяемого уравнением формы ${ displaystyle AP + BP + CP = c}$. Пусть три штифта будут закреплены в трех фокусах. А, B, C. Пусть один конец струны закрепится на штифте в C и позвольте веревке пройти вокруг других булавок. Пусть карандаш будет прикреплен к другому концу веревки. Пусть карандаш зацепит веревочку между А и C а затем растянуть до п. Карандаш перемещают так, чтобы веревка была натянутой. Получившаяся фигура будет частью трифокального эллипса. Положение струны, возможно, придется отрегулировать, чтобы получить полный овал.

В течение двух лет после того, как его статья была представлена ​​Королевскому обществу Эдинбурга, Максвелл систематически развивал геометрические и оптические свойства этих овалов.^[5]

Специализация и обобщение подхода Максвелла

В качестве частного случая подхода Максвелла рассмотрим n-эллипс - геометрическое место точки, которая движется таким образом, что выполняется следующее условие:

${ Displaystyle A_ {1} P + A_ {2} P + cdots + A_ {n} P = c. ,}$

Деление на п и замена c/п к c, это определяющее условие можно сформулировать как

${ displaystyle { frac {1} {n}} (A_ {1} P + A_ {2} P + cdots + A_ {n} P) = c}$

Это предполагает простую интерпретацию: обобщенная коника - это такая кривая, что среднее расстояние до каждой точки п на кривой из множества {А₁, А₂, . . . , А_п} имеет то же постоянное значение. Эта формулировка концепции обобщенной коники была дополнительно обобщена несколькими различными способами.

• Изменить определение среднего. В формулировке среднее значение интерпретировалось как среднее арифметическое. Это может быть заменено другими понятиями средних, таких как среднее геометрическое расстояний. Если для задания среднего используется среднее геометрическое, то получаемые кривые будут лемнискаты. «Лемнискаты - это множества, все точки которых имеют одно и то же среднее геометрическое расстояние (т.е. их произведение постоянно). Лемнискаты играют центральную роль в теории приближения. Полиномиальное приближение голоморфной функции можно интерпретировать как приближение кривые уровня с лемнискатами. Произведение расстояний соответствует модулю корневого разложения многочленов на комплексной плоскости ".^[6]
• Изменить мощность фокусного набора. Измените определение так, чтобы определение можно было применять даже в случае, когда фокусное множество бесконечно. Эту возможность впервые представили К. Гросс и Т.-К. Strempel [2], и они поставили вопрос о том, можно ли распространить какие результаты (классического случая) на случай бесконечного числа фокусов или на непрерывное множество фокусов.^[7]
• Измените размер основного пространства. Можно предположить, что точки лежат в некоторых d-мерное пространство.
• Изменить определение расстояния. Традиционно используются евклидовы определения. на его месте другие понятия расстояния, такие как расстояние такси, может быть использовано.^[6][8] Обобщенные коники с этим понятием расстояния нашли применение в геометрической томография.^[6][9]

Формулировка определения обобщенной коники в наиболее общем случае, когда мощность фокального множества бесконечна, включает понятия измеримых множеств и интегрирования Лебега. Все это использовалось разными авторами, и полученные кривые изучались с особым упором на приложения.

Определение

Позволять ${ displaystyle d: R ^ {n} rightarrow R}$ быть метрикой и ${ displaystyle mu}$ мера на компакте ${ Displaystyle К подмножество R ^ {п}}$ с ${ Displaystyle му (К)> 0}$. Невзвешенная обобщенная коническая функция ${ displaystyle f_ {K}}$ связана с ${ displaystyle K}$ является

${ displaystyle f_ {K} (x) = int _ {K} g (x, y) d (x, y) , d _ { mu} y}$

куда ${ displaystyle g: R ^ {n} times R ^ {n} rightarrow R}$ функция ядра, связанная с ${ displaystyle f_ {K}}$. ${ displaystyle K}$ - это множество фокусов. Наборы уровней ${ displaystyle {x in R ^ {n}: f_ {K} (x)$ называются обобщенными кониками.^[6]

Обобщенные коники через полярные уравнения

На рисунке показано исходное положение правого кругового конуса вместе с плоским сечением до его разворачивания на плоскость.

На рисунке показано произвольное положение правого круглого конуса вместе с плоским сечением, в то время как конус разворачивается на плоскость. На рисунке также показана обобщенная коника (пунктирная кривая на плоскости), до которой коническое сечение конуса развернуто в плоскость.

Учитывая конику, выбирая фокус коники как столб и линия, проходящая через полюс, проведена параллельно директриса коники как полярной оси, полярное уравнение из конический можно записать в следующей форме:

${ displaystyle r = { frac {ed} {1 + e sin theta}}}$

Здесь е это эксцентриситет конической и d - расстояние директрисы от полюса. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян при изучении кривых, проведенных на поверхностях правильных круговых конусов, ввели новый класс кривых, которые они назвали обобщенными кониками.^[10][11] Это кривые, полярные уравнения которых аналогичны полярным уравнениям обычных коник, а обычные коники появляются как частные случаи этих обобщенных коник.

Определение

Для констант р₀ ≥ 0, λ ≥ 0 и действительный k, плоская кривая, описываемая полярным уравнением

${ displaystyle r = { frac {r_ {0}} {1+ lambda sin (k theta)}}}$

называется обобщенная коническая.^[11] Коника называется обобщенным эллипсом, параболой или гиперболой согласно формуле λ < 1, λ = 1 или λ > 1.

Особые случаи

• В частном случае, когда k = 1 обобщенная коника сводится к обычной конике.
• В частном случае, когда k > 1, существует простой геометрический метод генерации соответствующей обобщенной коники.^[11]

Позволять α быть таким углом, что грех α = 1/k. Рассмотрим прямой круговой конус с полувертикальным углом, равным α. Рассмотрим пересечение этого конуса плоскостью так, чтобы пересечение было коникой с эксцентриситетом λ. Разверните конус до плоскости. Тогда кривая в плоскости, к которой относится конический участок эксцентриситета λ развернута - это обобщенная коника с полярным уравнением, указанным в определении.

• В частном случае, когда k <1 обобщенная коника не может быть получена разворачиванием конического участка. В этом случае есть другая интерпретация.

Рассмотрим обычную конику, начерченную на плоскости. Оберните плоскость, чтобы сформировать правильный круговой конус, чтобы конус превратился в кривую в трехмерном пространстве. Проекция кривой на плоскость, перпендикулярную оси конуса, будет обобщенной коникой в ​​смысле Апостола и Мнацаканяна с k < 1.

Примеры

р0 = 5, λ = 0.6, k = 1.5	р0 = 5, λ = 0.22, k = 5.5	р0 = 5, λ = 1, k = 1.5	р0 = 5, λ = 1, k = 1.15
р0 = 5, λ = 1.6, k = 1.5	р0 = 5, λ = 0.8, k = 0.5	р0 = 5, λ = 1.0, k = 0.5	р0 = 5, λ = 1.5, k = 0.5

Обобщенные коники в приближении кривой

В 1996 году Жуйбин Ку ввел новое понятие обобщенной коники как инструмента для создания приближений к кривым.^[12] Отправной точкой для этого обобщения является результат того, что последовательность точек ${ Displaystyle {P_ {k}: к = 0,1,2, ldots }}$ определяется

${ Displaystyle P_ {k + 1} = 2 alpha P_ {k} -P_ {k-1}}$

лежать на конусе. В этом подходе обобщенная коника теперь определяется, как показано ниже.

Определение

Обобщенная коника - это такая кривая, что если две точки ${ displaystyle P_ {0}}$ и ${ displaystyle P_ {1}}$ на нем, то точки ${ displaystyle {P_ {k}: k> 1 }}$ порожденный рекурсивным отношением

${ displaystyle P_ {k + 1} = 2 alpha P_ {k} + beta P_ {k-1}}$

для некоторых ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ удовлетворение отношений

${ Displaystyle альфа бета neq 0, quad ( alpha, beta) neq ( pm 1, -1), quad alpha ^ {2} + beta neq 0}$

тоже на нем.

Обобщенные коники как эквидистантные множества

Анимация, показывающая генерацию эллипс как равноудаленный набор двух окружностей.

Определение

Позволять (Икс, d) быть метрическое пространство и разреши А быть непустой подмножество Икс. Если Икс это точка в Икс, расстояние Икс из А определяется как d(Икс, А) = inf { d(Икс, а): а в А}. Если А и B оба непустых подмножества Икс то эквидистантное множество, определяемое А и B определяется как множество {Икс в Икс: d(Икс, А) = d(Икс, B)}. Это эквидистантное множество обозначается { А = B }. Термин обобщенная коника используется для обозначения общего эквидистантного множества.^[13]

Примеры

Классические коники могут быть реализованы как эквидистантные множества. Например, если А это одноэлементный набор и B прямая линия, то эквидистантное множество { А = B } - парабола. Если А и B такие круги, что А полностью внутри B то эквидистантное множество { А = B } представляет собой эллипс. С другой стороны, если А лежит полностью снаружи B эквидистантный набор { А = B } является гиперболой.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Подробное обсуждение обобщенных коник с точки зрения дифференциальной геометрии см. В главе об обобщенных кониках в книге Чаба Винце «Выпуклая геометрия», доступной в Интернете.^[1]