Обобщенный квантор - Generalized quantifier

В лингвистический семантика, а обобщенный квантор (GQ) - выражение, обозначающее набор наборов. Это стандартная семантика, присвоенная количественно существительные фразы. Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает набор множеств, членом которого является каждый мальчик:

{displaystyle {X, |, forall x (x {ext {- мальчик}} o xin X)}}

Такой подход к кванторам был важен для достижения композиционный семантика для предложений, содержащих кванторы.^[1]^[2]

Теория типов

Версия теория типов часто используется для того, чтобы сделать семантику различных видов выражений явной. Стандартная конструкция определяет набор типов рекурсивно следующее:

е и т типы.
Если а и б оба типа, то тоже ${displaystyle langle a, bangle}$
Ничто не является типом, кроме того, что может быть построено на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, у нас есть простые типы е и т, но и счетный бесконечность сложных типов, некоторые из которых включают:

{displaystyle langle e, tangle; qquad langle langle t, tangle; qquad langle langle e, tangle, tangle; qquad langle e, langle e, tangle angle; qquad langle langle e, tangle, langle langle e, tangle, tangle angle; qquad ldots }

Выражения типа е обозначают элементы вселенная дискурса, набор сущностей, о которых идет речь. Этот набор обычно записывается как ${displaystyle D_ {e}}$ . Примеры типа е выражения включают Джон и он.
Выражения типа т обозначить значение истины, обычно отображается как набор ${displaystyle {0,1}}$ , где 0 означает «ложь», а 1 - «истина». Примеры выражений, которые иногда называют типами т находятся фразы или же предложения.
Выражения типа ${displaystyle langle e, tangle}$ обозначать функции из набора сущностей в набор значений истинности. Этот набор функций отображается как ${displaystyle D_ {t} ^ {D_ {e}}}$ . Такие функции характеристические функции из наборы. Они сопоставляют каждого индивидуума, который является элементом множества, с «истинным», а все остальное - с «ложным». Принято говорить, что они обозначают наборы а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последние более точны. Примеры выражений этого типа: предикаты, существительные и некоторые виды прилагательные.
В общем, выражения сложных типов ${displaystyle langle a, bangle}$ обозначают функции из множества сущностей типа ${displaystyle a}$ к множеству сущностей типа ${displaystyle b}$ , конструкцию можно записать следующим образом: ${displaystyle D_ {b} ^ {D_ {a}}}$ .

Теперь мы можем присвоить типы слов в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

- Тип (мальчик) = ${displaystyle langle e, tangle}$
- Тип (спит) = ${displaystyle langle e, tangle}$
- Тип (каждый) = ${displaystyle langle langle e, tangle, langle langle e, tangle, tangle angle}$

Таким образом, каждый означает функцию из набор функции от набора до значения истинности. Другими словами, он обозначает функцию от набора к набору наборов. Это та функция, которая для любых двух множеств А, Б, каждый(А)(B) = 1 тогда и только тогда, когда ${displaystyle Asubseteq B}$ .

Типизированное лямбда-исчисление

Полезный способ написания сложных функций - это лямбда-исчисление. Например, можно записать значение спит как следующее лямбда-выражение, которое является функцией отдельного Икс к утверждению, что х спит.

{displaystyle lambda x.sleep '(x)}

Такие лямбда-термины - это функции, домен которых - это то, что предшествует точке, а диапазон - тип вещей, который следует за точкой. Если Икс это переменная, которая охватывает элементы ${displaystyle D_ {e}}$ , то следующий лямбда-член обозначает функция идентичности на физических лиц:

{displaystyle lambda x.x}

Теперь мы можем написать значение каждый со следующим лямбда-членом, где X, Y переменные типа ${displaystyle langle e, tangle}$ :

{displaystyle lambda X.lambda Y.Xsubseteq Y}

Если сократить значение мальчик и спит в качестве "B" и "S"соответственно имеем, что предложение каждый мальчик спит теперь означает следующее:

{displaystyle (lambda X.lambda Y.Xsubseteq Y) (B) (S)}

— β-редукция

{displaystyle (lambda Y.Bsubseteq Y) (S)}

- β-восстановление

{displaystyle Bsubseteq S}

Выражение каждый это определитель. В сочетании с имя существительное, это дает обобщенный квантор типа ${displaystyle langle langle e, tangle, tangle}$ .

Характеристики

Монотонность

Монотонно возрастающие GQ

А обобщенный квантор GQ называется монотонно возрастающий, также называемый снизу вверх на всякий случай для любых двух наборов Икс и Y имеет место следующее:

если

{displaystyle Xsubseteq Y}

, то GQ (Икс) влечет за собой GQ (Y).

GQ каждый мальчик монотонно возрастает. Например, набор вещей, беги быстро это подмножество множества вещей, которые пробег. Следовательно, первое предложение ниже влечет за собой второй:

Каждый мальчик быстро бегает.
Каждый мальчик бежит.

Монотонно убывающие GQ

GQ называется монотонно убывающий, также называемый нисходящий на всякий случай для любых двух наборов Икс и Y, имеет место следующее:

Если

{displaystyle Xsubseteq Y}

, то GQ (Y) влечет GQ (Икс).

Примером монотонно убывающего GQ является не мальчик. Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

Мальчик не бежит.
Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-термин для определитель нет следующее. Он говорит, что два набора имеют пустой пересечение.

{displaystyle lambda X.lambda Y.Xcap Y = emptyset}

Монотонно убывающие GQ являются одними из выражений, которые могут лицензировать элемент с отрицательной полярностью, Такие как любой. Монотонно возрастающие GQ не лицензируют предметы с отрицательной полярностью.

Хорошо: ни у одного мальчика нет любой Деньги.
Плохо: * У каждого мальчика любой Деньги.

Немонотонные GQ

GQ называется немонотонный если он не является ни монотонно возрастающим, ни монотонно убывающим. Примером такого GQ является ровно три мальчика. Ни одно из следующих двух предложений не влечет за собой другого.

Бежали ровно трое учеников.
Бежали ровно трое учеников.

Первое предложение не влечет за собой второго. Тот факт, что количество учащихся, участвовавших в конкурсе, равно трем, не означает, что каждый из этих студентов быстро побежал, поэтому количество студентов, которые это сделали, может быть меньше 3. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Приговор ровно три студента быстро бежали может быть правдой, даже если количество студентов, которые просто бежали (т.е. не так быстро), превышает 3.

Лямбда-член для (сложного) определитель ровно три следующее. В нем говорится, что мощность из пересечение между двумя наборами равно 3.

{displaystyle lambda X.lambda Y. | Xcap Y | = 3}

Консервативность

Определитель D называется консервативный если имеет место следующая эквивалентность:

{displaystyle D (A) (B) leftrightarrow D (A) (Acap B)}

Например, следующие два предложения эквивалентны.

Каждый мальчик спит.
Каждый мальчик - это мальчик, который спит.

Было предложено, чтобы все Определители естественного языка (т.е.в каждом языке) консервативны (Barwise и Купер 1981). Выражение Только не консервативен. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле анализировать Только как определитель. Скорее, это стандартно рассматривается как чувствительный к фокусу наречие.

Спят только мальчики.
Только мальчики - мальчики, которые спят.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Квантификаторы в языке и логике. Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0.
Антонио Бадиа (2009). Квантификаторы в действии: обобщенная количественная оценка в запросах, логических и естественных языках. Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.

внешняя ссылка

Даг Вестерстол, 2011 г. »Обобщенные кванторы '. Стэнфордская энциклопедия философии.

[1] Монтегю, Ричард: 1974, 'Правильный подход к количественной оценке на английском языке ', в R. Montague, Formal Philosophy, ed. Р. Томасона (Нью-Хейвен).

[2] Барвайз, Джон и Робин Купер. 1981. Обобщенные кванторы и естественный язык. Лингвистика и философия 4: 159-219.

[1]

[2]