Среднее геометрическое – гармоническое - Geometric–harmonic mean

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Среднее геометрическое - гармоническое»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то среднее геометрическое гармоническое М (Икс, y) двух положительных действительные числа Икс и y определяется следующим образом: мы формируем среднее геометрическое из г₀ = Икс и час₀ = y и назови это г₁, т.е. г₁ это квадратный корень из ху. Мы также формируем гармоническое среднее из Икс и y и назови это час₁, т.е. час₁ это взаимный из среднее арифметическое обратных Икс и y. Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию с помощью г₁ заняв место Икс и час₁ заняв место y. Таким образом, два последовательности (г_п) и (час_п) определены:

${ displaystyle g_ {n + 1} = { sqrt {g_ {n} h_ {n}}}}$

и

${ displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {g_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}}}}$

Обе эти последовательности сходиться на тот же номер, который мы называем среднее геометрическое гармоническое М (Икс, y) из Икс иy. Среднее геометрическое гармоническое также обозначается как гармоническое – геометрическое среднее. (см. ниже Wolfram MathWorld.)

Существование предела можно доказать с помощью Теорема Больцано – Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднее арифметико-геометрическое.

Свойства

М (Икс, y) представляет собой число между геометрическим и гармоническим средним значением Икс и y; в частности, это между Икс и y. М (Икс, y) это также однородный, т.е. если р > 0, то M (rx, ry) = р М (Икс, y).

Если AG (Икс, y) это среднее арифметико-геометрическое, то мы также имеем

${ displaystyle M (x, y) = { frac {1} {AG ({ frac {1} {x}}, { frac {1} {y}})}}}$

Неравенства

Имеется следующее неравенство с пифагоровыми средними {ЧАС, г, А} и повторные пифагорейские средства {HG, HA, GA}:

${ Displaystyle мин (х, у) Leq ЧАС (х, у) Leq HG (х, у) Leq G (х, у) Leq GA (х, у) Leq А (х, у) leq max (x, y)}$

где повторяющиеся средние Пифагора были отождествлены со своими частями {ЧАС, г, А} в прогрессивном порядке:

• ЧАС(Икс, y) - гармоническое среднее,
• HG(Икс, y) - среднее геометрическое гармоническое,
• г(Икс, y) = HA(Икс, y) - среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим арифметическим),
• GA(Икс, y) - среднее геометрическое арифметическое,
• А(Икс, y) - среднее арифметическое.

Смотрите также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Среднее арифметическое - гармоническое
• Значить

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонико-геометрическое среднее». MathWorld.