Формула следа Гротендика - Википедия - Grothendieck trace formula

В алгебраическая геометрия, то Формула следа Гротендика выражает количество баллов разнообразие через конечное поле с точки зрения след из Эндоморфизм Фробениуса на его группы когомологий. Существует несколько обобщений: эндоморфизм Фробениуса можно заменить более общим эндоморфизмом, и в этом случае точки над конечным полем заменяются его неподвижными точками, а также существует более общий вариант для пучок над многообразием, где группы когомологий заменены когомологиями с коэффициентами в пучке.

Формула следа Гротендика является аналогом в алгебраической геометрии Теорема Лефшеца о неподвижной точке в алгебраическая топология.

Одно из применений формулы следа Гротендика - выразить дзета-функция разнообразия над конечным полем, или, в более общем смысле, L-серия пучка как сумма по следам Фробениуса на группах когомологий. Это один из шагов, используемых при доказательстве Гипотезы Вейля.

Формула следа Беренда обобщает формулу на алгебраические стеки.

Официальное заявление для L-функции

Позволять k - конечное поле, л а простое число обратимый в k, Икс а гладкий k-схема измерения п, и ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ а конструктивный ${ displaystyle mathbb {Q} _ {l}}$-пучок на Икс. Тогда следующее когомологическое выражение для L-функция из ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ держит:

${ Displaystyle L (Икс, { mathcal {F}}, t) = prod _ {i = 0} ^ {2n} operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {i} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ^ {(- 1) ^ {i + 1}} = { frac { operatorname {det } (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {1} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ldots operatorname {det } (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {2n-1} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}}))} { operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {0} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ldots operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {2n} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}}))}}}$

куда F везде геометрический Фробениус действие на л-адические когомологии с компактными опорами связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$. Принимая логарифмические производные обоих формальный степенной ряд выводит утверждение о суммах следов для каждого конечного расширение поля E базового поля k:

${ displaystyle sum _ {x in X (E)} operatorname {tr} (F_ {E} , , | , , { mathcal {F}} _ {x}) = sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} operatorname {tr} (F_ {E} , , | , , H_ {c} ^ {i} (X _ { bar { k}}, { mathcal {F}}))}$

Для постоянной связки ${ displaystyle mathbb {Q} _ {l}}$ (рассматривается как ${ displaystyle ( varprojlim mathbb {Z} / l ^ {n} mathbb {Z}) otimes mathbb {Q}}$ квалифицироваться как л-адический пучок) левая часть этой формулы - это количество E-точки Икс.

Рекомендации

• Делинь, Пьер (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½). Конспект лекций по математике (на французском языке). 569. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0091516. ISBN  978-3-540-08066-4.
• Гротендик, Александр (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5). Конспект лекций по математике (на французском языке). 589. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0096802. ISBN  3-540-08248-4.
• Фрайтаг, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля, Ergebnisse der Mathematik и егорер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 13, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-12175-6, МИСТЕР  0926276