Методы H-бесконечности в теории управления - Википедия - H-infinity methods in control theory

ЧАС_∞ (т.е. "ЧАС-бесконечность") методы используются в теория управления синтезировать контроллеры для достижения стабилизации с гарантированной производительностью. Использовать ЧАС_∞ методов, разработчик элементов управления выражает проблему управления как математическая оптимизация проблема, а затем находит контроллер, который решает эту оптимизацию. ЧАС_∞ методы имеют преимущество перед классическими методами контроля в том, что ЧАС_∞ методы легко применимы к задачам, включающим многомерные системы с перекрестной связью между каналами; недостатки ЧАС_∞ методы включают в себя уровень математического понимания, необходимый для их успешного применения, и потребность в достаточно хорошей модели системы для управления. Важно помнить, что полученный контроллер является оптимальным только в отношении заданной функции стоимости и не обязательно представляет собой лучший контроллер с точки зрения обычных показателей производительности, используемых для оценки контроллеров, таких как время установления, затраченная энергия и т. Д. Кроме того, нелинейные ограничения, такие как насыщенность, обычно не учитываются. Эти методы были внедрены в теорию управления в конце 1970-х - начале 1980-х гг. Джордж Замес (минимизация чувствительности),^[1] Дж. Уильям Хелтон (широкополосное согласование),^[2]и Аллен Танненбаум (оптимизация прибыли).^[3]

Фраза ЧАС_∞ контроль происходит от названия математического пространства, в котором происходит оптимизация: ЧАС_∞ это Харди космос из матрица -значные функции, которые аналитический и ограничена в открытой правой половине комплексная плоскость определяется как Re (s)> 0; то ЧАС_∞ norm - максимальное сингулярное значение функции в этом пространстве. (Это можно интерпретировать как максимальное усиление в любом направлении и на любой частоте; для SISO систем, это фактически максимальная величина частотной характеристики.) ЧАС_∞ Для минимизации воздействия возмущения в замкнутом контуре могут использоваться методы: в зависимости от постановки задачи воздействие будет измеряться либо с точки зрения стабилизации, либо с точки зрения производительности.

Одновременная оптимизация надежной работы и надежной стабилизации затруднена. Один из методов, который приближается к достижению этого, - ЧАС_∞ петлеобразование, что позволяет разработчику системы управления применять классические концепции формирования контура к многопараметрической частотной характеристике, чтобы получить хорошие устойчивые характеристики, а затем оптимизирует отклик около полосы пропускания системы для достижения хорошей устойчивой стабилизации.

Коммерческое программное обеспечение доступно для поддержки ЧАС_∞ синтез контроллера.

Постановка проблемы

Во-первых, процесс должен быть представлен в следующей стандартной конфигурации:

Завод п имеет два входа, экзогенный вход ш, который включает опорный сигнал и возмущения, а также управляемые переменные ты. Есть два выхода, сигналы ошибки z что мы хотим минимизировать, а измеряемые переменные v, которые мы используем для управления системой. v используется в K для вычисления управляемых переменных ты. Обратите внимание, что все это обычно векторов, в то время как п и K находятся матрицы.

В формулах система:

${ Displaystyle { begin {bmatrix} z ​​ v end {bmatrix}} = mathbf {P} (s) , { begin {bmatrix} w u end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} P_ {11} (s) & P_ {12} (s) P_ {21} (s) & P_ {22} (s) end {bmatrix}} , { begin {bmatrix} w и конец {bmatrix}}}$

${ Displaystyle и = mathbf {K} (s) , v}$

Следовательно, можно выразить зависимость z на ш в качестве:

${ Displaystyle Z = F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) , w}$

Называется ниже дробно-линейное преобразование, ${ displaystyle F _ { ell}}$ определено (индекс происходит от ниже):

${ Displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) = P_ {11} + P_ {12} , mathbf {K} , (I-P_ {22} , mathbf {K}) ^ {- 1} , P_ {21}}$

Следовательно, цель ${ Displaystyle { mathcal {H}} _ { infty}}$ дизайн управления - найти контроллер ${ displaystyle mathbf {K}}$ такой, что ${ Displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K})}$ сводится к минимуму согласно ${ displaystyle { mathcal {H}} _ { infty}}$ норма. То же определение применяется к ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$ дизайн управления. Бесконечная норма матрица передаточной функции ${ Displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K})}$ определяется как:

${ displaystyle || F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) || _ { infty} = sup _ { omega} { bar { sigma}} (F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) (j omega))}$

куда ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ это максимум исключительное значение матрицы ${ Displaystyle F _ { ell} ( mathbf {P}, mathbf {K}) (j omega)}$.

Достижимый ЧАС_∞ Норма замкнутой системы в основном задается через матрицу D₁₁ (когда система п дается в виде (А, B₁, B₂, C₁, C₂, D₁₁, D₁₂, D₂₂, D₂₁)). Есть несколько способов попасть на ЧАС_∞ контроллер:

• А Параметризация Юлы-Кучера замкнутого контура часто приводит к контроллеру очень высокого порядка.
• Риккати -основанные подходы решают 2 Уравнения Риккати чтобы найти контроллер, но требуются несколько упрощающих предположений.
• Переформулировка уравнения Риккати на основе оптимизации использует линейные матричные неравенства и требует меньше предположений.

Смотрите также

• Харди космос
• H квадрат
• Формирование петли H-бесконечности
• Линейно-квадратично-гауссовское управление (LQG)
• Матрица системы Розенброка

Рекомендации

Библиография