Гармоничный набор - Википедия - Harmonious set

В математика, а гармоничный набор является подмножеством локально компактная абелева группа на котором каждый слабый персонаж может быть равномерно аппроксимирован сильными персонажами. Эквивалентно определенное соответствующим образом дуальное множество относительно плотно в Понтрягин дуальный группы. Это понятие было введено Ив Мейер в 1970 г. и позже сыграли важную роль в математической теории квазикристаллы. Некоторые связанные концепции: модельные наборы, Наборы Мейера, и наборы для резки и проектирования.

Определение

Позволять Λ - подмножество локально компактной абелевой группы грамм и Λ_d быть подгруппой грамм создано Λ, с дискретная топология. А слабый характер это ограничение на Λ алгебраического гомоморфизма из Λ_d в круговая группа:

${ displaystyle chi: Lambda _ {d} to mathbf {T}, quad chi in operatorname {Hom} ( Lambda _ {d}, mathbf {T}).}$

А сильный характер это ограничение на Λ непрерывного гомоморфизма из грамм к Т, который является элементом Понтрягин дуальный из грамм.

Множество Λ является гармоничный если каждый слабый символ может быть аппроксимирован сильными символами равномерно на Λ. Таким образом, для любого ε > 0 и любой слабый персонаж χ, существует сильный характер ξ такой, что

${ displaystyle sup _ { Lambda} | chi ( lambda) - xi ( lambda) | leq epsilon, quad chi in operatorname {Hom} ( Lambda _ {d}, mathbf {T}), xi in { hat {G}}.}$

Если локально компактная абелева группа грамм является отделяемый и метризуемый (его топология может быть определена трансляционно-инвариантной метрикой), тогда гармоничные множества допускают другое, связанное, описание. Учитывая подмножество Λ из грамм и положительный ε, позволять M_ε - подмножество двойственного по Понтрягину грамм состоящий из всех символов, которые почти тривиальны на Λ:

${ displaystyle sup _ { Lambda} | chi ( lambda) -1 | leq epsilon, quad chi in { hat {G}}.}$

потом Λ является гармоничный если наборы M_ε находятся относительно плотный в смысле Безикович: для каждого ε > 0 существует компактное подмножество K_ε двойственной по Понтрягину такой, что

${ displaystyle M _ { epsilon} + K _ { epsilon} = { hat {G}}.}$

Характеристики

• Подмножество гармоничного набора гармонично.
• Если Λ гармоничный набор и F конечное множество, то множество Λ + F также гармоничен.

Следующие два свойства показывают, что понятие гармоничного множества нетривиально, только когда объемлющая группа не является ни компактной, ни дискретной.

• Конечное множество Λ всегда гармоничен. Если группа грамм компактно, то, наоборот, всякое гармоничное множество конечно.
• Если грамм это дискретная группа тогда каждый комплект будет гармоничным.

Примеры

Интересные примеры мультипликативно замкнутых гармоничных множеств действительных чисел возникают в теории диофантово приближение.

• Позволять грамм быть аддитивной группой действительные числа, θ > 1, а множество Λ состоят из всех конечных сумм различных степеней θ. потом Λ гармоничен тогда и только тогда, когда θ это Номер Писо. В частности, гармонична последовательность степеней числа Пизо.
• Позволять K быть настоящим поле алгебраических чисел степени п над Q и набор Λ состоят из всех Pisot или Салем числа степени п в K. потом Λ содержится в открытом интервале (1, ∞), замкнута относительно умножения и гармонична. И наоборот, любой набор действительных чисел с этими тремя свойствами состоит из всех чисел Пизо или Салема степени п в некотором поле вещественных алгебраических чисел K степени п.

Смотрите также

• Почти периодическая функция

Рекомендации

• Ив Мейер, Алгебраические числа и гармонический анализ, Математическая библиотека Северной Голландии, том 2, Северная Голландия, 1972 г.