Теорема Хелли – Брея. - Helly–Bray theorem

В теория вероятности, то Теорема Хелли – Брея. связывает слабая конвергенция из кумулятивные функции распределения к сближению ожидания определенных измеримые функции. Он назван в честь Эдуард Хелли и Хуберт Эвелин Брей.

Позволять F и F1, F2, ... - кумулятивные функции распределения на реальная линия. Теорема Хелли – Брея утверждает, что если Fп слабо сходится к F, тогда

для каждого ограниченный, непрерывная функция грамм: рр, где задействованные интегралы равны Интегралы Римана – Стилтьеса..

Обратите внимание, что если Икс и Икс1, Икс2, ... находятся случайные переменные соответствующих этим функциям распределения, то из теоремы Хелли – Брея не следует, что E (Иксп) → E (Икс), поскольку грамм(Икс) = Икс не является ограниченной функцией.

Фактически имеет место более сильная и более общая теорема. Позволять п и п1, п2, ... быть вероятностные меры на некоторых набор S. потом пп слабо сходится к п если и только если

для всех ограниченных, непрерывных и ценный функции на S. (Интегралы в этой версии теоремы равны Интегралы Лебега – Стилтьеса..)

Приведенная выше более общая теорема иногда принимается как определение слабая сходимость мер (см. Биллингсли, 1999, стр. 3).

Рекомендации

  1. Патрик Биллингсли (1999). Сходимость вероятностных мер, 2-е изд.. John Wiley & Sons, Нью-Йорк. ISBN  0-471-19745-9.

Эта статья включает материал из теоремы Хелли – Брея о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.