Одиннадцатая проблема Гильберта - Википедия - Hilberts eleventh problem

Одиннадцатая проблема Гильберта один из Дэвид Гильберт с список открытых математических задач поставлен на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Развитие теории квадратичные формы, он сформулировал проблему следующим образом:

Наши нынешние знания теории поля квадратичных чисел дает нам возможность успешно атаковать теорию квадратичных форм с любым числом переменных и с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами. Это приводит, в частности, к интересной проблеме: решить данное квадратное уравнение с алгебраическими числовыми коэффициентами при любом количестве переменных с помощью целых или дробных чисел, принадлежащих алгебраической области рациональности, определяемой коэффициентами.^[1]

Как заявил Каплански, «11-я проблема проста: классифицировать квадратичные формы над поля алгебраических чисел. "Это именно то, что Минковский сделал для квадратичной формы с дробными коэффициентами. Квадратичная форма (не квадратное уравнение) - это любое многочлен в котором каждый член имеет переменные, встречающиеся ровно дважды. Общий вид такого уравнения: топор² + bxy + Сай². (Все коэффициенты должны быть целыми числами.)

Данная квадратичная форма называется представлять а натуральное число если замена конкретных чисел на переменные дает число. Гаусс и его последователи обнаружили, что если мы изменим переменные определенным образом, новая квадратичная форма будет представлять те же натуральные числа, что и старая, но в другой, более легко интерпретируемой форме. Он использовал эту теорию эквивалентных квадратичных форм для доказательства результатов теории чисел. Лагранж, например, показал, что любое натуральное число может быть выражено как сумма четырех квадратов. Гаусс доказал это, используя свою теорию отношения эквивалентности^{[нужна цитата ]} показав, что квадратичная ${ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$ представляет все натуральные числа. Как упоминалось ранее, Минковский создал и доказал аналогичную теорию для квадратичных форм, в которых дроби были коэффициентами. Одиннадцатая проблема Гильберта требует аналогичной теории. То есть способ классификации, позволяющий определить, эквивалентна ли одна форма другой, но в случае, когда коэффициенты могут быть алгебраические числа. Хельмут Хассе сделал это в доказательстве, используя его локально-глобальный принцип и тот факт, что теория относительно проста для п-адический систем в октябре 1920 г. Он опубликовал свои работы в 1923 и 1924 гг. Принцип Хассе, Теорема Хассе-Минковского. Локально-глобальный принцип гласит, что общий результат о рациональном числе или даже о всех рациональных числах часто можно получить, проверив, что результат верен для каждого из п-адические системы счисления.

Есть также более поздняя работа по одиннадцатой проблеме Гильберта, изучающей, когда целое число может быть представлено квадратичной формой. Примером может служить работа Когделла, Пятецкий-Шапиро и Сарнак.^[2]

Смотрите также

• Проблемы Гильберта

Примечания

Рекомендации

• Янделл, Бенджамин Х. Класс с отличием: проблемы Гильберта и их решения. Натик: К. Петерс. Распечатать.