C * -модуль Гильберта - Hilbert C*-module

Гильбертовые C * -модули находятся математические объекты которые обобщают понятие Гильбертово пространство (что само по себе является обобщением Евклидово пространство ), в том, что они наделяют линейное пространство с "внутренний продукт "который принимает значения в C * -алгебра. Гильбертовые С * -модули были впервые введены в работе Ирвинг Каплански в 1953, который развил теорию для коммутативный, унитальные алгебры (хотя Каплански заметил, что допущение о единичном элементе не было «жизненно важным»).^[1] В 1970-х годах теория была независимо распространена на некоммутативные С * -алгебры Уильямом Линдаллом Пашке.^[2] и Марк Риффель, последний в статье, в которой гильбертовы C * -модули построили теорию индуцированные представления C * -алгебр.^[3] Гильбертовы C * -модули имеют решающее значение для формулировки Каспаровым КК-теория,^[4] и обеспечить правильную основу для расширения понятия Эквивалентность Морита в C * -алгебры.^[5] Их можно рассматривать как обобщение векторные пакеты к некоммутативным C * -алгебрам и как таковые играют важную роль в некоммутативная геометрия, особенно в C * -алгебраическая квантовая теория групп,^[6][7] и группоид C * -алгебры.

Определения

Внутренний продукт А-модули

Позволять А C * -алгебра (не считается коммутативной или унитальной), ее инволюция обозначается *. An внутренний продукт А-модуль (или же прегильбертовский А-модуль) это сложный линейное пространство E который оснащен совместимым правом А-модуль структура вместе с картой

${displaystyle langle cdot, cdot angle: E imes Eightarrow A}$

который удовлетворяет следующим свойствам:

• Для всех Икс, у, z в E, а α, β в C:

${displaystyle langle x, alpha y + eta zangle = alpha langle x, yangle + eta langle x, zangle}$

(т.е. внутренний продукт линейен по второму аргументу).

• Для всех Икс, у в E, а в А:

${displaystyle langle x, yaangle = langle x, yangle a}$

• Для всех Икс, у в E:

${displaystyle langle x, yangle = langle y, xangle ^ {*},}$

из чего следует, что внутренний продукт сопряженный линейный в первом аргументе (т.е. это полуторалинейная форма ).

• Для всех Икс в E:

${displaystyle langle x, xangle geq 0}$

и

${displaystyle langle x, xangle = 0iff x = 0.}$

(Элемент C * -алгебры А как говорят положительный если это самосопряженный с неотрицательным спектр.)^[8][9]

Гильберта А-модули

Аналог Неравенство Коши – Шварца имеет место для внутреннего продукта А-модуль E:^[10]

${displaystyle langle x, yangle langle y, xangle leq Vert langle y, yangle Vert langle x, xangle}$

за Икс, у в E.

О предгильбертовом модуле E, определим норму как

${displaystyle Vert xVert = Vert langle x, xangle Vert ^ {frac {1} {2}}.}$

Нормативное завершение E, все еще обозначаемый E, называется Гильберта А-модуль или Гильбертовый C * -модуль над C * -алгеброй А. Из неравенства Коши – Шварца следует, что скалярное произведение совместно непрерывно по норме и, следовательно, может быть расширено до пополнения.

Действие А на E непрерывно: для всех Икс в E

${displaystyle a_ {lambda} ightarrow aRightarrow xa_ {lambda} ightarrow xa.}$

Аналогично, если {е_λ} является приблизительная единица за А (а сеть самосопряженных элементов А для которого ае_λ и е_λа как правило а для каждого а в А), то для Икс в E

${displaystyle xe_ {lambda} ightarrow x}$

откуда следует, что EA является плотный в E, и Икс1 = Икс когда А является единым.

Позволять

${displaystyle langle E, Eangle = operatorname {span} {langle x, yangle | x, yin E},}$

затем закрытие из <E,E> - двусторонний идеал в А. Двусторонние идеалы являются C * -подалгебрами и поэтому обладают приближенными единицами. Можно убедиться, что E<E,E> плотно в E. В случае, когда <E,E> плотно в А, E как говорят полный. Обычно это не так.

Примеры

Гильбертовы пространства

Комплексное гильбертово пространство ЧАС гильберт C-модуль под его внутренним произведением, комплексные числа являются C * -алгеброй с инволюцией, заданной формулой комплексное сопряжение.

Векторные пучки

Если Икс это локально компактное хаусдорфово пространство и E а векторный набор над Икс с Риманова метрика грамм, то пространство непрерывных сечений E гильберт С (Х)-модуль. Внутренний продукт дается

${displaystyle langle f, hangle (x): = g (f (x), h (x)).}$

Верно и обратное: всякий счетно порожденный гильбертовый C * -модуль над коммутативной C * -алгеброй А = С (Х) изоморфно пространству исчезающих на бесконечности сечений непрерывного поля гильбертовых пространств над Икс.

C * -алгебры

Любая C * -алгебра А гильберт А-модуль под внутренним продуктом <а,б> = а*б. По C * -тождеству норма гильбертова модуля совпадает с C * -нормой на А.

(Алгебраический) прямая сумма из п копии А

${displaystyle A ^ {n} = oplus _ {1} ^ {n} A}$

можно превратить в гильбертов А-модуль путем определения

${displaystyle langle (a_ {i}), (b_ {i}) angle = sum a_ {i} ^ {*} b_ {i}.}$

Можно также рассмотреть следующее подпространство элементов в счетном прямом произведении А

${displaystyle ell _ {2} (A) = {mathcal {H}} _ {A} = {(a_ {i}) | сумма a_ {i} ^ {*} a_ {i} {ext {сходится в}} A}.}$

Обладает очевидным внутренним продуктом (аналогичным продукту А^п), получившаяся гильбертова А-модуль называется стандартный гильбертовый модуль.

Смотрите также

• Операторная алгебра

Примечания

Рекомендации

• Лэнс, Э. Кристофер (1995). Гильбертовые C * -модули: инструментарий для операторных алгебраистов. Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "C * -модуль Гильберта". MathWorld.
• Домашняя страница C * -модулей Гильберта список литературы