IM 67118 - IM 67118

Глиняная табличка, IM 67118, математическая, геометрическо-алгебраическая, аналогичная теореме Пифагора. Из Телль аль-Даббаи, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака

IM 67118, также известный как Db2-146, является Старый вавилонский глиняная табличка в коллекции Национальный музей Ирака который содержит решение проблемы в плоская геометрия относительно прямоугольника заданной площади и диагонали. В последней части текста решение подтверждается с помощью теорема Пифагора. Считается, что этапы решения представляют собой геометрические операции вырезания и вставки, включающие диаграмму, из которой, как предполагалось, древние месопотамцы могли в более раннее время вывести теорему Пифагора.

Описание

Табличка была раскопана в 1962 году в Телль-эд-Дибаи, старовавилонском поселении недалеко от современного Багдада, которое когда-то было частью королевства Эшнунна, и был опубликован Таха Бакир в том же году.[1][2] Он датируется примерно 1770 г. до н.э. (согласно средняя хронология ), во время правления Ибал-пи-эль II, который правил Эшнунной в то же время, что Хаммурапи управлял Вавилон.[3] Размер планшета 11,5 × 6,8 × 3,3 см.[4] Его язык Аккадский, написано в клинопись сценарий. На лицевой стороне планшета 19 строк текста и шесть на обороте. На реверсе также изображена диаграмма, состоящая из прямоугольника задачи и одной из его диагоналей. Вдоль этой диагонали написана ее длина в шестидесятеричный обозначение; площадь прямоугольника записывается в треугольной области под диагональю.[5]

Проблема и ее решение

На современном математическом языке задача, поставленная на планшете, следующая: прямоугольник имеет площадь А = 0,75 и диагональ c = 1,25. Какие длины а и б сторон прямоугольника?

Решение можно понимать как происходящее в два этапа: на этапе 1 количество вычисляется как 0,25. На этапе 2 хорошо зарекомендовавший себя старовавилонский метод завершения квадрата используется для решения того, что фактически является системой уравнений б − а = 0.25, ab = 0.75.[6] Геометрически это проблема вычисления длин сторон прямоугольника, площадь которого А и разница в длине стороны б−а известны, что было постоянной проблемой в древневавилонской математике.[7] В этом случае обнаруживается, что б = 1 и а = 0,75. Метод решения предполагает, что тот, кто разработал решение, использовал свойство c2 − 2А = c2 − 2ab = (б − а)2. Однако следует подчеркнуть, что современные обозначения для уравнений и практика представления параметров и неизвестных буквами были неслыханными в древние времена. Сейчас это широко распространено в результате Йенс Хёйруп Обширный анализ словаря древневавилонской математики показал, что в основе процедур в таких текстах, как IM 67118, лежал набор стандартных геометрических операций вырезания и вставки, а не символическая алгебра.[8][9]

Возможная геометрическая основа решения IM 67118. Сплошными линиями на рисунке показана стадия 1; пунктирными линиями и штриховкой показан этап 2. Центральный квадрат имеет боковую б − а. Светло-серая область - это гномон области. А = ab. Темно-серый квадрат (стороны (б − а) / 2) завершает гномон до квадрата со стороной (б + а) / 2. Добавление (б − а) / 2 к горизонтальному размеру завершенного квадрата и вычитание его из вертикального размера дает желаемый прямоугольник.

Из словаря решения Хёйруп заключает, что c2, квадрат диагонали, следует понимать как геометрический квадрат, площадь которого равна 2А нужно «отрезать», то есть удалить, оставив квадрат со стороной б − а. Хёйруп предполагает, что квадрат на диагонали, возможно, был образован путем создания четырех копий прямоугольника, каждая из которых повернута на 90 °, и что площадь 2А была площадью четырех прямоугольных треугольников, содержащихся в квадрате по диагонали. Остальное - маленький квадрат в центре фигуры.[10]

Геометрическая процедура вычисления длин сторон прямоугольника заданной площади. А и разница в длине стороны б − а должен был превратить прямоугольник в гномон площади А отрезав прямоугольный кусок размеров а ×½(б − а) и приклеиваем этот кусок на сторону прямоугольника. Затем гномон был завершен до квадрата добавлением меньшего квадрата со стороной ½ (б − а) к нему.[11][7] В этой задаче сторона завершенного квадрата вычисляется как . Количество ½ (б − а) = 0,125 прибавляется к горизонтальной стороне квадрата и вычитается из вертикальной стороны. Полученные отрезки линии являются сторонами желаемого прямоугольника.[11]

Одна из трудностей при восстановлении древневавилонских геометрических диаграмм состоит в том, что известные таблички никогда не включают диаграммы в решениях - даже в геометрических решениях, где явные конструкции описаны в тексте, - хотя диаграммы часто включаются в формулировки задач. Хёйруп утверждает, что геометрия вырезания и вставки могла быть выполнена в какой-то среде, отличной от глины, возможно, в песке или на «пылевых счетах», по крайней мере, на ранних этапах обучения писца, до того, как умственные способности с геометрическими вычислениями были развиты .[12][13]

Фриберг действительно описывает некоторые таблички, содержащие рисунки «фигур в фигурах», включая MS 2192, в котором полоса, разделяющая два концентрических равносторонних треугольника, разделена на три трапеции. Он написал "Идея вычисления площади треугольной полосы как площади цепочки трапеций является разновидностью идеи вычисления площади квадратной полосы как площади цепочки из четырех прямоугольников. Это простая идея, и вполне вероятно, что она была известна древневавилонским математикам, хотя до сих пор не было найдено ни одного клинописного математического текста, в котором эта идея явно упоминалась бы ». Далее он утверждает, что эта идея подразумевается в текст IM 67118.[14] Он также предлагает сравнить с диаграммой YBC 7329, на которой показаны два концентрических квадрата. Полоса, разделяющая квадраты, на этом планшете не разделена на четыре прямоугольника, но числовое значение площади одного из прямоугольников действительно появляется рядом с рисунком.[15]

Проверка решения

Решение б = 1, а = 0,75 подтверждается путем вычисления площадей квадратов с соответствующими длинами сторон, сложения этих площадей и вычисления длины стороны квадрата с полученной площадью, то есть путем извлечения квадратного корня. Это приложение теоремы Пифагора, , и результат соответствует заданному значению, c = 1.25.[11][16] То, что площадь также правильная, подтверждается вычислением продукта,ab.[11]

Перевод

Следующий перевод предоставлен Бриттоном: Пруст, и Шнидер и основан на переводе Хёйрупа,[17] который, в свою очередь, основан на ручном копировании и транслитерации слова Бакир,[18] с небольшими исправлениями. Вавилонский шестидесятеричный числа переводятся в десятичную систему счисления с основанием 60 цифр, разделенных запятыми. Следовательно, 1,15 означает 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25. Обратите внимание, что в вавилонской системе не было «шестидесятеричной точки», поэтому общую силу 60 при умножении числа нужно было вывести из контекста. Перевод "конформный", что, как описано Элеонора Робсон, «включает в себя последовательный перевод вавилонских технических терминов с существующими английскими словами или неологизмами, которые максимально соответствуют исходным значениям»; он также сохраняет Аккадский порядок слов.[9] В древней вавилонской математике для умножения использовались разные слова, в зависимости от основного геометрического контекста, а также для других арифметических операций.[19]

Лицевой

  1. Если про диагональ (прямоугольник с), (кто-то) спросит вас
  2. таким образом, 1,15 по диагонали, 45 по поверхности;
  3. длина и ширина, соответствующие чему? Вы, исходя из ваших действий,
  4. 1,15, ваша диагональ, ее аналог лег:
  5. заставить их держаться: 1,33,45 выпадает,
  6. 1,33,45 может (?) Ваша (?) Рука (?)
  7. 45 ваша поверхность до двух довести: 1,30 подходит.
  8. От 1,33,45 отсечка: 3,45[20] остаток.
  9. Равная сторона 3,45 дубля: выпадает 15. Его половинка,
  10. Выходит 7,30, прибавка к 7,30: выпадает 56,15
  11. 56,15 твоя рука. 45 ваша поверхность над рукой,
  12. Подходит 45,56,15. Равная сторона 45,56,15 берет:
  13. 52,30 подходит, 52,30 его аналог лег,
  14. 7,30, которые вы держали в одном
  15. добавить: от одного
  16. отрезать. 1 ваша длина, 45 ширины. Если 1 длина,
  17. 45 ширина, поверхность и диагональ, соответствующие чему?
  18. (Вы по вашему) сделаете, длину держите:
  19. (Я подходит ...) Держи голову.

Обеспечить регресс

  2. [...]: 45, ширина, удерживать:
  3. 33,45 подходит. К вашей длине добавьте:
  4. 1,33,45 подходит. Равная сторона 1,33,45 принимает:
  5. 1,15 подходит. 1,15 ваша диагональ. Ваша длина
  6. на ширину поднять, 45 ваша поверхность.
  7. Итак, процедура.[21]

Постановка задачи приведена в строках 1–3, этап 1 решения - в строках 3–9, этап 2 решения - в строках 9–16, а проверка решения - в строках 16–24. Обратите внимание, что «1,15 ваша диагональ, ее копия положена: заставьте их держаться» означает сформировать квадрат, положив перпендикулярные копии диагонали, «равная сторона» - это сторона квадрата или квадратный корень из его площади. , «пусть ваша голова держится» означает помнить, а «ваша рука» может относиться к «планшету или устройству для вычислений».[11]

Отношение к другим текстам

Проблема 2 на планшете MS 3971 в Коллекция Schøyen, которая была опубликована Фрибергом, идентична задаче на IM 67118. Решение очень похоже, но продолжается добавлением 2А к c2, а не вычитать его. Сторона получившегося квадрата равна б + а = 1,75 в этом случае. Система уравнений б + а = 1.75, ab = 0,75 снова решается завершением квадрата. MS 3971 не содержит диаграммы и не выполняет этап проверки. Его язык "краток" и использует много Шумерский логограммы по сравнению с «многословным» IM 67118, который написан на аккадском слоговом языке.[22] Фриберг считает, что этот текст происходит из Урука на юге Ирака и датирует его 1795 годом до нашей эры.[23]

Фриберг указывает, что аналогичная проблема обнаруживается в египетском демотическом папирусе III века до н. П. Каир, задачи 34 и 35, опубликованные Паркером в 1972 году.[24] Фриберг также видит возможную связь с АА. Объяснение Ваймана записи в древневавилонской таблице констант TMS 3, которая гласит: «57 36, константа шара». Вайман отмечает, что клинописный знак для šàr напоминает цепочку из четырех прямоугольных треугольников, расположенных в квадрате, как на предлагаемой фигуре. Площадь такой цепочки составляет 24/25 (равная 57 36 в шестидесятеричной системе счисления), если принять 3-4-5 прямоугольных треугольников с гипотенузой, нормированной на длину 1.[24] Хёйруп пишет, что проблема IM 67118 «обнаруживается, решенная точно таким же образом, в руководстве на иврите от 1116 г. н. Э.».[25]

Значимость

Хотя проблема в IM 67118 связана с конкретным прямоугольником, стороны и диагональ которого образуют масштабную версию прямоугольного треугольника 3-4-5, язык решения является общим, обычно определяя функциональную роль каждого числа как такового. использовал. В более поздней части текста местами видна абстрактная формулировка, не имеющая отношения к конкретным значениям («длина удерживается», «ваша длина зависит от ширины»). Хёйруп видит в этом «безошибочный след« правила Пифагора »в абстрактной формулировке».[26]

Способ открытия правила Пифагора неизвестен, но некоторые ученые видят в методе решения, использованном в IM 67118, возможный путь. Наблюдение, что вычитая 2А из c2 дает (б − а)2 нужно только дополнить геометрической перестановкой областей, соответствующих а2, б2, и −2А = −2ab чтобы получить доказательство перегруппировки правила, которое хорошо известно в наше время и которое также предлагается в третьем веке нашей эры в комментарии Чжао Шуана к древнекитайскому Чжуби Суаньцзин (Гномон Чжоу).[27][24][28][29] Формулировка решения в MS 3971, проблема 2, не имеющая вычтенных областей, обеспечивает, возможно, еще более простой вывод.[27][30]

Хёйруп выдвигает гипотезу, частично основанную на сходстве словесных задач, возникающих в разное время и в самых разных местах, а также на языке и числовом содержании таких задач, что большая часть письменного древневавилонского математического материала была заимствована из практического геодезиста. традиция, где решение загадочных задач использовалось как знак профессионального мастерства. Хёйруп считает, что эта геодезическая культура пережила упадок древневавилонской культуры писцов, которая возникла в результате хеттского завоевания Месопотамии в начале 16 века до нашей эры, и что она повлияла на математику Древней Греции, Вавилона в период Селевкидов и Исламской империи. , и средневековой Европы.[31] Среди проблем, которые Хёйруп приписывает этой традиции практических геодезистов, есть ряд задач с прямоугольниками, требующих завершения квадрата, включая задачу IM 67118.[32] На основании того, что никаких упоминаний о правиле Пифагора в третьем тысячелетии до н.э. не известно и что формулировка IM 67118 уже адаптирована к культуре писцов, Хёйруп пишет:Судить только по этим свидетельствам поэтому вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде непрофессиональных геодезистов, возможно, как побочный результат проблемы, рассматриваемой в Db2-146, где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры ».[33] Таким образом, правило, названное в честь Пифагор, который родился около 570 г. до н.э. и умер около 495 г. до н.э.,[34] показано, что он был обнаружен примерно за 12 веков до его рождения.[нужна цитата ]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Ламия Аль-Гайлани Верр рассказывает о своей работе на раскопках в Верр (2005): «Я начал работать в Телль аль-Дибаи на окраине Багдада, где мы обнаружили вавилонский город второго тысячелетия до нашей эры с довольно внушительным храмом, административным зданием и множеством домов. Находки с этого места, хотя и не очень впечатляющие. , были невероятно важны. Существовало более 600 клинописных табличек, в основном касающихся деловых контрактов и сельскохозяйственных вопросов, но одна была уникальной - это был математический текст, который позже был прочитан Тахой Бакир и определен как доказательство теоремы Пифагора. примерно за 2000 лет до жизни греческого математика ».
  2. ^ Исмаэль и Робсон (2010), п. 151
  3. ^ Исмаэль и Робсон (2010), п. 152
  4. ^ Бакир (1962), п. 12
  5. ^ Оригинальная публикация Бакира, Бакир (1962), пл. 2–3, содержит фотографию и копию планшета, включая схему; его ручная копия воспроизводится в Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 551. И фотография, и копия от руки доступны в разделе Инициативы клинописи цифровой библиотеки для IM 67118, Бакир (2019).
  6. ^ Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 548–550
  7. ^ а б Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 527
  8. ^ Хёйруп (2002)
  9. ^ а б Робсон (2002)
  10. ^ Хёйруп (2002), п. 259
  11. ^ а б c d е Хёйруп (2002), п. 260
  12. ^ Хёйруп (1990), стр. 285–287
  13. ^ Хёйруп (2017), стр. 95–97
  14. ^ Фриберг (2007), п. 205
  15. ^ Фриберг (2007), п. 213
  16. ^ Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 550–551
  17. ^ Хёйруп (2002), стр. 258–259
  18. ^ Бакир (1962) пл. 2–3
  19. ^ Хёйруп (2002), стр. 18–32
  20. ^ Табличка здесь: 1,33,45, очевидная опечатка.
  21. ^ Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), п. 550
  22. ^ Фриберг (2007), п. 252
  23. ^ Фриберг (2007), п. 245
  24. ^ а б c Фриберг (2007), п. 206
  25. ^ Хёйруп (2017), п. 127
  26. ^ Хёйруп (2017), п. 128
  27. ^ а б Хёйруп (2002), п. 261
  28. ^ Бриттон, Пруст и Шнидер (2011), стр. 547–548
  29. ^ Хёйруп (2016), стр. 463–464
  30. ^ Фриберг (2007), п. 251
  31. ^ Хёйруп (2017), глава 8
  32. ^ Хёйруп (2017), п. 107
  33. ^ Хёйруп (1998), п. 406
  34. ^ Гатри (1978)

Рекомендации

  • Бакир, Таха (1962). «Скажи Дхибаи: Новые математические тексты». Шумер. 18: 11–14, пл. 1–3.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Бакир, Таха (2019). "P254557". Инициатива электронной клинописи. Получено 6 августа 2019.
  • Бриттон, Джон П .; Пруст, Кристина; Шнидер, Стив (2011). «Плимптон 322: обзор и другая перспектива». Архив истории точных наук. 65 (5): 519–566. Дои:10.1007 / s00407-011-0083-4.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Фриберг, Йоран (2007), Замечательная коллекция вавилонских математических текстов: рукописи из собрания Шёйена, клинописные тексты I, Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин: Springer, ISBN  978-0-387-48977-3
  • Гатри, Уильям Кейт Чемберс (1978). История греческой философии, Том 1: Ранние досократики и пифагорейцы. Издательство Кембриджского университета. п. 173. ISBN  978-0-521-29420-1. Даты жизни [Пифагора] не могут быть установлены точно, но, предполагая приблизительную правильность утверждения Аристоксена (прим. Porph. В.П. 9), что он покинул Самос, спасаясь от тирании Поликрата в возрасте сорока лет, мы можем считать, что он родился около 570 г. до н.э. или несколькими годами ранее. Продолжительность его жизни в древности оценивалась по-разному, но принято считать, что он дожил до довольно зрелого возраста и, скорее всего, умер в возрасте семидесяти пяти или восьмидесяти лет.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Хёйруп, Йенс (1990). «Алгебра и наивная геометрия: исследование некоторых основных аспектов древневавилонской математической мысли II». Altorientalische Forschungen. 17 (1–2): 262–354. Дои:10.1524 / aofo.1990.17.12.262.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Хёйруп, Йенс (1998). «Правило Пифагора и теорема - зеркало отношения между вавилонской и греческой математикой». В Renger, Johannes (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. Мэрц 1998 в Берлине (PDF). Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. С. 393–407.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Хёйруп, Йенс (2002). Длина, ширина и поверхность. Портрет древней вавилонской алгебры и ей подобных. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer. Дои:10.1007/978-1-4757-3685-4. ISBN  978-1-4419-2945-7.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Хёйруп, Йенс (2016). "Селевкиды, демотическая и средиземноморская математика в сравнении с главами VIII и IX Девять глав: Случайное или значительное сходство? " (PDF). Исследования по истории естествознания. 35 (4): 463–476.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Хёйруп, Йенс (2017). Алгебра в клинописи: введение в древневавилонскую геометрическую технику. Издание открытого доступа. ISBN  978-3-945561-15-7.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Исмаил, Халид Салим; Робсон, Элеонора (2010). «Арифметические таблички из иракских раскопок в Дияле». В Baker, H.D .; Робсон, Э .; Золёми, Г. (ред.). Сладкая похвала: памятный том Джереми Блэку от студентов, коллег и друзей. Лондон: Британский институт изучения Ирака. С. 151–164. ISBN  978-0-903472-28-9.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Робсон, Элеонора (22 мая 2002 г.). "Обзор MAA: Длина, ширина, поверхность: портрет древневавилонской алгебры и ей подобных". Математическая ассоциация Америки.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Верр, Ламия Аль-Гайлани (2005). «Глава 1: Рождение музея». В Полке, Милбри; Шустер, Анджела М. Х. (ред.). Разграбление музея Ирака Багдад: утраченное наследие древней Месопотамии. Нью-Йорк: Гарри Н. Абрамс. стр.27 –33.

внешняя ссылка