Идеальное частное - Ideal quotient

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Идеальное частное»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В абстрактная алгебра, если я и J находятся идеалы коммутативного звенеть р, их идеальное частное (я : J) - множество

${ Displaystyle (I: J) = {р in R mid rJ substeq I }}$

Потом (я : J) сам по себе является идеалом в р. Идеальное частное рассматривается как частное, потому что ${ displaystyle KJ substeq I}$ если и только если ${ displaystyle K substeq I: J}$. Идеальное частное полезно для расчета первичные разложения. Это также возникает в описании установить разницу в алгебраическая геометрия (Смотри ниже).

(я : J) иногда называют идеальная толстая кишка из-за обозначений. В контексте фракционные идеалы, есть родственное понятие обратного дробного идеала.

Характеристики

Идеальное частное удовлетворяет следующим свойствам:

• ${ Displaystyle (I: J) = mathrm {Ann} _ {R} ((J + I) / I)}$ в качестве ${ displaystyle R}$-модули, где ${ Displaystyle mathrm {Энн} _ {R} (М)}$ обозначает аннигилятор из ${ displaystyle M}$ как ${ displaystyle R}$-модуль.
• ${ Displaystyle J substeq I Rightarrow (I: J) = R}$
• ${ displaystyle (I: R) = I}$
• ${ displaystyle (R: I) = R}$
• ${ Displaystyle (I: (J + K)) = (I: J) cap (I: K)}$
• ${ displaystyle (I: (r)) = { frac {1} {r}} (I cap (r))}$ (так долго как р является областью целостности)

Расчет частного

Вышеупомянутые свойства могут быть использованы для вычисления частного идеалов в кольце многочленов по их образующим. Например, если я = (ж₁, ж₂, ж₃) и J = (грамм₁, грамм₂) идеалы в k[Икс₁, ..., Икс_п], тогда

${ displaystyle I: J = (I: (g_ {1})) cap (I: (g_ {2})) = left ({ frac {1} {g_ {1}}} (I cap (g_ {1})) right) cap left ({ frac {1} {g_ {2}}} (I cap (g_ {2})) right)}$

потом теория исключения можно использовать для вычисления пересечения я с (грамм₁) и (грамм₂):

${ Displaystyle I cap (g_ {1}) = tI + (1-t) (g_ {1}) cap k [x_ {1}, dots, x_ {n}], quad I cap (g_ {2}) = tI + (1-t) (g_ {2}) cap k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$

Рассчитать Основа Грёбнера за tI + (1-т)(грамм₁) относительно лексикографического порядка. Тогда базисные функции, не имеющие т в них порождают ${ displaystyle I cap (g_ {1})}$.

Геометрическая интерпретация

Идеальное частное соответствует установить разницу в алгебраическая геометрия.^[1] Точнее,

• Если W аффинное разнообразие и V является подмножеством аффинного пространства (не обязательно многообразием), то

${ Displaystyle I (V): I (W) = I (V setminus W)}$

куда ${ Displaystyle I ( пуля)}$ обозначает взятие идеала, ассоциированного с подмножеством.

• Если я и J идеалы в k[Икс₁, ..., Икс_п], с k алгебраически замкнутый и я радикальный тогда

${ Displaystyle Z (I: J) = mathrm {cl} (Z (I) setminus Z (J))}$

куда ${ Displaystyle mathrm {cl} ( пуля)}$ обозначает Зарисский закрытие, и ${ Displaystyle Z ( пуля)}$ обозначает взятие многообразия, определяемого идеалом. я не радикальна, то то же свойство имеет место, если мы насыщать идеал J:

${ Displaystyle Z (I: J ^ { infty}) = mathrm {cl} (Z (I) setminus Z (J))}$

куда ${ Displaystyle (I: J ^ { infty}) = чашка _ {п geq 1} (I: J ^ {n})}$.

Примеры

• В ${ Displaystyle mathbb {Z}}$, ${ Displaystyle ((6) :( 2)) = (3)}$
• Одно из геометрических применений идеального частного - это удаление неприводимой компоненты аффинной схемы. Например, пусть ${ Displaystyle I = (xyz), { text {}} J = (xy)}$ в ${ displaystyle mathbb {C} [x, y, z]}$ - идеалы, соответствующие объединению плоскостей x, y, z и плоскостей x и y в ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {3}}$. Тогда идеальное частное ${ Displaystyle (I: J) = (г)}$ идеал z-плоскости в ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {3}}$. Это показывает, как можно использовать идеальное частное для «удаления» неприводимых подсхем.
• Полезный теоретико-схемный пример - идеальное частное приводимого идеала. Например, идеальное частное ${ displaystyle ((x ^ {4} y ^ {3}) :( x ^ {2} y ^ {2})) = (x ^ {2} y)}$, показывая, что идеальное частное подсхемы некоторой нередуцированной схемы, где обе имеют одну и ту же редуцированную подсхему, уничтожает часть нередуцированной структуры.
• Мы можем использовать предыдущий пример, чтобы найти насыщенность идеала, соответствующего проективной схеме. Учитывая однородный идеал ${ Displaystyle I подмножество R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ то насыщенность из ${ displaystyle I}$ определяется как идеальное частное ${ displaystyle (I: { mathfrak {m}} ^ { infty}) = cup _ {i geq 1} (I: { mathfrak {m}} ^ {i})}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {m}} = (x_ {0}, ldots, x_ {n}) subset R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$. Это теорема, что множество насыщенных идеалов ${ Displaystyle R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ содержалась в ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ находится в биекции с множеством проективных подсхем в ${ displaystyle mathbb {P} _ {R} ^ {n}}$.^[2] Это показывает нам, что ${ displaystyle (х ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}) { mathfrak {m}} ^ {k}}$ определяет то же самое проективная кривая в качестве ${ displaystyle (х ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}$ в ${ Displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {2}}$.

Рекомендации

• Вивиана Эне, Юрген Херцог: «Основы Грёбнера в коммутативной алгебре», AMS Аспирантура по математике, Том 130 (AMS 2012)

• М. Ф. Атья, И. Г. Макдональд: `` Введение в коммутативную алгебру '', Addison-Wesley, 1969.