Неопределенная система - Indeterminate system

В математика, особенно в алгебра, неопределенная система это система одновременные уравнения (например., линейные уравнения ), который имеет более одного решения (иногда бесконечно много решений).^[1][2] В случае линейной системы ее можно назвать недооцененный, и в этом случае наличие более одного решения будет означать бесконечное количество решений (поскольку система может быть описана в терминах по крайней мере одной свободной переменной^[3]), но это свойство не распространяется на нелинейные системы (например, система с уравнением ${displaystyle x ^ {2} = 1}$).

Неопределенная система по определению последовательный, в смысле наличия хотя бы одного решения.^[4] Для системы линейных уравнений количество уравнений в неопределенной системе может быть таким же, как количество неизвестных, меньше, чем количество неизвестных ( недоопределенная система ), или больше, чем количество неизвестных ( сверхдетерминированная система ). И наоборот, любой из этих трех случаев может быть или не быть неопределенным.

Примеры

В следующих примерах неопределенных систем уравнений соответственно меньше уравнений, столько же уравнений и больше уравнений, чем неизвестных:

${displaystyle x + y = 2}$

${displaystyle x + y = 2 ,,,,,, 2x + 2y = 4}$

${стиль дисплея x + y = 2 ,,,,,, 2x + 2y = 4 ,,,,,, 3x + 3y = 6}$

Условия, приводящие к неопределенности

В линейных системах возникает неопределенность если и только если номер независимые уравнения (в ранг из расширенная матрица системы) меньше количества неизвестных и совпадает с рангом матрица коэффициентов. Ведь если существует по крайней мере столько же независимых уравнений, сколько неизвестных, это устранит любые участки перекрытия поверхностей уравнений в геометрическом пространстве неизвестных (кроме, возможно, одной точки), что, в свою очередь, исключает возможность иметь больше чем одно решение. С другой стороны, если ранг расширенной матрицы превышает (обязательно на единицу, если вообще) ранг матрицы коэффициентов, тогда уравнения будут совместно противоречить друг другу, что исключает возможность иметь какое-либо решение.

Нахождение множества решений неопределенной линейной системы

Пусть система уравнений записана в матрица форма как

${displaystyle Ax = b}$

где ${displaystyle A}$ это ${displaystyle m imes n}$ матрица коэффициентов, ${displaystyle x}$ это ${displaystyle n imes 1}$ вектор неизвестных, и ${displaystyle b}$ является ${displaystyle m imes 1}$ вектор констант. В этом случае, если система неопределенная, то бесконечное множество решений - это множество всех ${displaystyle x}$ векторы, созданные^[5]

${displaystyle x = A ^ {+} b + [I_ {n} -A ^ {+} A] w}$

где ${displaystyle A ^ {+}}$ это Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза из ${displaystyle A}$ и ${displaystyle w}$ есть ли ${displaystyle n imes 1}$ вектор.

Смотрите также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенный (переменный)
• Линейная алгебра
• Одновременные уравнения
• Независимое уравнение
• Идентифицируемость

использованная литература

дальнейшее чтение

• Лэй, Дэвид (2003). Линейная алгебра и ее приложения. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-70970-8.