Мгновенный центр вращения - Instant centre of rotation

Набросок 1: Мгновенный центр п движущегося самолета

В мгновенный центр вращения, также называемый мгновенный центр скорости,^[1] или также мгновенный центр или мгновенный центр, - это точка, прикрепленная к телу, совершающему плоское движение с нулевой скоростью в определенный момент времени. В этот момент векторы скорости других точек тела создают вокруг этой точки круговое поле, идентичное тому, которое создается при чистом вращении.

Плоское движение тела часто описывают плоской фигурой, движущейся в двухмерном пространстве. самолет. Мгновенный центр - это точка в движущейся плоскости, вокруг которой в определенный момент времени вращаются все другие точки.

У непрерывного движения самолета есть мгновенный центр для каждого значения параметра времени. Это создает кривую, называемую движущимся центрода. Точки на фиксированной плоскости, соответствующие этим мгновенным центрам, образуют фиксированную центроду.

Обобщение этой концепции на трехмерное пространство - это поворот винта. Винт имеет ось, которая является линией в трехмерном пространстве (не обязательно через начало координат), и винт также имеет конечный шаг (фиксированное перемещение вдоль своей оси, соответствующее вращению вокруг оси винта).

Полюс плоского смещения

Набросок 2: Полюс плоского смещения

Мгновенный центр можно рассматривать как предельный случай полюса плоского смещения.

В планарное смещение тела из положения 1 в положение 2 определяется комбинацией плоских вращение и планарный перевод. Для любого плоского смещения в движущемся теле есть точка, которая находится в одном и том же месте до и после смещения. Этот момент является полюс плоского смещения, а смещение можно рассматривать как вращение вокруг этого полюса.

Конструкция полюса плоского смещения: Сначала выберите две точки A и B в движущемся теле и найдите соответствующие точки в двух положениях; см. иллюстрацию. Постройте перпендикуляр биссектрисы к двум сегментам A¹А² и B¹B². Пересечение P этих двух биссектрис является полюсом плоского смещения. Обратите внимание, что A¹ и А² лежат на окружности вокруг P. Это верно для соответствующих положений каждой точки тела.

Если два положения тела разделены моментом времени при плоском движении, то полюс смещения становится мгновенным центром. В этом случае отрезки, построенные между мгновенными положениями точек A и B, становятся векторами скорости V_А и V_B. Линии, перпендикулярные этим векторам скорости, пересекаются в мгновенном центре.

Алгебраическое построение декартовых координат ${ displaystyle left (P_ {x}, P_ {y} right)}$ можно расположить следующим образом: Середина между ${ displaystyle A ^ {1}}$ и ${ displaystyle A ^ {2}}$ имеет декартовы координаты

{ Displaystyle A_ {x} ^ {m} = { frac {1} {2}} left (A_ {x} ^ {1} + A_ {x} ^ {2} right); quad A_ { y} ^ {m} = { frac {1} {2}} left (A_ {y} ^ {1} + A_ {y} ^ {2} right),}

и середина между ${ displaystyle B ^ {1}}$ и ${ displaystyle B ^ {2}}$ имеет декартовы координаты

{ Displaystyle B_ {x} ^ {m} = { frac {1} {2}} left (B_ {x} ^ {1} + B_ {x} ^ {2} right); quad B_ { y} ^ {m} = { frac {1} {2}} left (B_ {y} ^ {1} + B_ {y} ^ {2} right).}

Два угла от ${ displaystyle A ^ {1}}$ к ${ displaystyle A ^ {2}}$ и из ${ displaystyle B ^ {1}}$ к ${ displaystyle B ^ {2}}$ измеряются против часовой стрелки относительно горизонтали, определяются как

{ displaystyle tan tau _ {A} = { frac {A_ {y} ^ {2} -A_ {y} ^ {1}} {A_ {x} ^ {2} -A_ {x} ^ { 1}}}, quad tan tau _ {B} = { frac {B_ {y} ^ {2} -B_ {y} ^ {1}} {B_ {x} ^ {2} -B_ { x} ^ {1}}},}

взяв правильные ветви касательная. Пусть центр ${ displaystyle left (P_ {x}, P_ {y} right)}$ вращения имеют расстояния ${ displaystyle d_ {A}}$ и ${ displaystyle d_ {B}}$ до двух средних точек. Предполагая вращение по часовой стрелке (в противном случае поменять знак ${ displaystyle pi / 2}$ ):

{ displaystyle { begin {align} P_ {x} & = A_ {x} ^ {m} + d_ {A} cos left ( tau _ {A} - { frac { pi} {2} } right); P_ {x} & = B_ {x} ^ {m} + d_ {B} cos left ( tau _ {B} - { frac { pi} {2}} справа); P_ {y} & = A_ {y} ^ {m} + d_ {A} sin left ( tau _ {A} - { frac { pi} {2}} right) ; P_ {y} & = B_ {y} ^ {m} + d_ {B} sin left ( tau _ {B} - { frac { pi} {2}} right). конец {выровнен}}}

Перепишите это как ${ displaystyle 4 times 4}$ неоднородный система линейных уравнений с 4 неизвестными (два расстояния ${ displaystyle d}$ и две координаты ${ displaystyle P}$ центра):

{ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 & - sin tau _ {A} & 0 1 & 0 & 0 & - sin tau _ {B} 0 & 1 & cos tau _ {A} & 0 0 & 1 & 0 & cos tau _ {B} end {pmatrix}} cdot { begin {pmatrix} P_ {x} P_ {y} d_ {A} d_ {B} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} A_ {x} ^ {m} B_ {x} ^ {m} A_ {y} ^ {m} B_ {y} ^ {m} end {pmatrix}}.}

Координаты центра вращения - это первые две компоненты вектора решения

{ displaystyle { begin {pmatrix} P_ {x} P_ {y} d_ {A} d_ {B} end {pmatrix}} = { frac {1} { sin left ( tau _ {A} - tau _ {B} right)}} { begin {pmatrix} left (B_ {y} ^ {m} -A_ {y} ^ {m} right) sin tau _ {A} sin tau _ {B} + B_ {x} ^ {m} sin tau _ {A} cos tau _ {B} -A_ {x} ^ {m} cos tau _ {A} sin tau _ {B} left (A_ {x} ^ {m} -B_ {x} ^ {m} right) cos tau _ {A} cos tau _ {B} + A_ {y} ^ {m} sin tau _ {A} cos tau _ {B} -B_ {y} ^ {m} cos tau _ {A} sin tau _ {B} влево (B_ {x} ^ {m} -A_ {x} ^ {m} right) cos tau _ {B} + left (B_ {y} ^ {m} - A_ {y} ^ {m} right) sin tau _ {B} left (B_ {x} ^ {m} -A_ {x} ^ {m} right) cos tau _ { A} + left (B_ {y} ^ {m} -A_ {y} ^ {m} right) sin tau _ {A} end {pmatrix}}.}

Чистый перевод

Если смещение между двумя положениями является чистым переносом, то серединные перпендикулярные отрезки A¹B¹ и А²B² образуют параллельные линии. Считается, что эти линии пересекаются в точке на линия на бесконечности, таким образом, считается, что полюс этого плоского смещения «лежит на бесконечности» в направлении серединных перпендикуляров.

В пределе чистое поступательное движение становится плоским движением с параллельными векторами скорости точек. В этом случае говорят, что мгновенный центр лежит на бесконечности в направлении, перпендикулярном векторам скорости.

Эскиз 3: Катящееся колесо.

Мгновенное вращение центра колеса без проскальзывания

Рассмотрим плоское движение кругового колеса, катящегося без скольжения по линейной дороге; см. рисунок 3. Колесо вращается вокруг своей оси M, которая перемещается в направлении, параллельном дороге. Точка контакта P колеса с дорогой не скользит, что означает, что точка P имеет нулевую скорость по отношению к дороге. Таким образом, в тот момент, когда точка P на колесе соприкасается с дорогой, она мгновенно становится центром.

Множество точек движущегося колеса, которые мгновенно становятся центрами, и есть сама окружность, определяющая движущуюся центроду. Точки на фиксированной плоскости, которые соответствуют этим мгновенным центрам, и есть линия дороги, которая определяет фиксированную центроду.

Вектор скорости точки A в колесе перпендикулярен отрезку AP и пропорционален длине этого отрезка. В частности, скорости точек в колесе определяются угловой скоростью колеса, вращающегося вокруг P. Векторы скорости ряда точек показаны на рисунке 3.

Чем дальше точка колеса находится от мгновенного центра P, тем пропорционально больше его скорость. Следовательно, верхняя точка колеса движется в том же направлении, что и центр колеса M, но в два раза быстрее, так как она вдвое больше расстояния от P. Все точки, которые находятся на расстоянии, равном радиусу колесо 'r' из точки P движется с той же скоростью, что и точка M, но в разных направлениях. Это показано для точки на колесе, которая имеет ту же скорость, что и M, но движется в направлении, касательном к окружности вокруг P.

Эскиз 4: Пример относительного центра вращения. Два тела контактируют в C, один вращающийся вокруг А а другой о B должен иметь относительный центр вращения где-то вдоль линии AB. Поскольку детали не могут проникать друг в друга, центр относительного вращения должен также находиться в нормальном направлении к контакту и через C. Единственное возможное решение, если относительный центр находится в D.

Относительный центр вращения для двух контактирующих плоских тел

Если два плоских твердых тела находятся в контакте, и каждое тело имеет свой собственный отдельный центр вращения, то относительный центр вращения между телами должен лежать где-то на линии, соединяющей два центра. В результате, поскольку чистое качение может существовать только тогда, когда центр вращения находится в точке контакта (как показано выше с колесом на дороге), это происходит только тогда, когда точка контакта проходит через линию, соединяющую два центра вращения. эта чистая прокатка может быть достигнута. Это известно в эвольвентная передача конструкция как точка тангажа, где нет относительного скольжения между шестернями. Фактически, передаточное число между двумя вращающимися частями определяется отношением двух расстояний к относительному центру. В примере на эскизе 4 передаточное число равно ${ displaystyle gamma = { frac {AD} {BD}}}$

Мгновенный центр вращения и механизмы

На рисунке 1 выше показан четырехзвенная навеска где проиллюстрировано несколько мгновенных центров вращения. Твердое тело, обозначенное буквами ВАС, соединено звеньями P₁-A и P₂-B к основанию или раме.

Тремя движущимися частями этого механизма (основание не движется) являются: звено P₁-A, ссылка P₂-B, и кузов BAC. Для каждой из этих трех частей может быть определен мгновенный центр вращения.

Учитывая первое звено P₁-A: все точки на этой ссылке, включая точку A, вращаются вокруг точки P₁. Поскольку P₁ - единственная точка, не движущаяся в данной плоскости, ее можно назвать мгновенным центром вращения для этого звена. Точка A на расстоянии P₁-A из P₁, совершает круговое движение в направлении, перпендикулярном звену P₁-A, на что указывает вектор V_А.

То же самое относится к звену P₂-B: точка P₂ - мгновенный центр вращения для этого звена, а точка B перемещается в направлении, указанном вектором V_B.

Для определения мгновенного центра вращения третьего элемента рычажного механизма, тела BAC, используются две точки A и B, поскольку его характеристики движения известны, как получено из информации о звеньях P₁-A и P₂-B.

Направление скорости точки A указано вектором V_А. Его мгновенный центр вращения должен быть перпендикулярен этому вектору (как V_А находится по касательной на окружности окружности). Единственная линия, которая удовлетворяет требованию, - это линия, коллинеарная звену P.₁-А. Где-то на этой прямой есть точка P, моментальный центр вращения тела ВАС.

То, что применимо к точке A, также применимо к точке B, поэтому этот моментальный центр вращения P расположен на линии, перпендикулярной вектору V._B, линия, коллинеарная звену P₂-B. Следовательно, мгновенный центр вращения P тела BAC - это точка, в которой прямые, проходящие через P₁-A и P₂-B крест.

Поскольку этот мгновенный центр вращения P является центром всех точек на теле BAC для любой случайной точки, скажем, точки C, скорость и направление движения могут быть определены: соедините P с C. Направление движения точки C перпендикулярно к этой связи. Скорость пропорциональна расстоянию до точки P.

Продолжая этот подход двумя звеньями P₁-A и P₂-B вращая вокруг своих собственных мгновенных центров вращения, центрод для мгновенного центра вращения P может быть определен. Отсюда можно определить путь движения C или любой другой точки тела BAC.

Примеры применения

В биомеханических исследованиях мгновенный центр вращения наблюдается для функционирования суставов верхних и нижних конечностей.^[2]Например, при анализе колено,^[3]^[4]^[5]лодыжка,^[6] или плечо суставы.^[7]^[8]Такие знания помогают в развитии искусственные суставы и протез, например, локоть ^[9] или суставы пальцев.^[10]

Исследование суставов лошадей: «... векторы скорости, определенные по мгновенным центрам вращения, показали, что поверхности соединения скользят друг по другу»..^[11]

Исследования по превращению сосуд движется по воде.^[12]

В торможение Характеристики автомобиля можно улучшить, изменив конструкцию механизма педали тормоза.^[13]

Проектирование подвески велосипеда,^[14] или машины.^[15]

В случае ответвительного звена в четырехзвенная навеска, например подвеска на двойных поперечных рычагах на виде спереди перпендикуляры скорости лежат вдоль звеньев, соединяющих заземленное звено с звеном сцепки. Эта конструкция используется для установления кинематический Центр валков подвески.