Ито изометрия - Itô isometry

В математика, то Ито изометрия, названный в честь Киёси Ито, это важный факт о Стохастические интегралы Ито. Одно из основных его приложений - вычисление отклонения для случайных величин, которые заданы как интегралы Ито.

Позволять ${displaystyle W: [0, T] imes Omega o mathbb {R}}$ обозначают канонические действительные значения Винеровский процесс определены до времени ${displaystyle T> 0}$ , и разреши ${displaystyle X: [0, T] imes Omega o mathbb {R}}$ быть случайный процесс то есть адаптированный к естественная фильтрация ${displaystyle {mathcal {F}} _ {*} ^ {W}}$ винеровского процесса. потом

{displaystyle operatorname {E} left [left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) ^ {2} ight] = operatorname {E} left [int _ { 0} ^ {T} X_ {t} ^ {2}, mathrm {d} tight],}

куда ${displaystyle operatorname {E}}$ обозначает ожидание относительно классическая мера Винера.

Другими словами, интеграл Ито как функция от пространства ${displaystyle L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)}$ квадратично интегрируемых адаптированные процессы в космос ${displaystyle L ^ {2} (Омега)}$ суммируемых с квадратом случайных величин, является изометрия из нормированные векторные пространства относительно норм, индуцированных внутренние продукты

{displaystyle {egin {align} (X, Y) _ {L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)} &: = OperatorName {E} left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, Y_ {t}, mathrm {d} плотный) конец {выровнен}}}

и

{displaystyle (A, B) _ {L ^ {2} (Omega)}: = имя оператора {E} (AB).}

Как следствие, интеграл Ито также учитывает эти внутренние продукты, т.е. мы можем написать

{displaystyle operatorname {E} left [left (int _ {0} ^ {T} X_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) left (int _ {0} ^ {T} Y_ {t}, mathrm {d} W_ {t} ight) ight] = имя оператора {E} left [int _ {0} ^ {T} X_ {t} Y_ {t}, mathrm {d} tight]}

за ${displaystyle X, Yin L_ {mathrm {ad}} ^ {2} ([0, T] imes Omega)}$ .

Рекомендации