Функция Джорданса totient - Википедия - Jordans totient function

Позволять ${ displaystyle k}$ быть положительное число. В теория чисел, Тотальная функция Джордана ${ Displaystyle J_ {k} (п)}$ положительного целого числа ${ displaystyle n}$ это количество ${ displaystyle k}$-наборы натуральных чисел все меньше или равны ${ displaystyle n}$ которые образуют взаимно простой ${ Displaystyle (к + 1)}$-пара вместе с ${ displaystyle n}$. (Кортеж взаимно прост тогда и только тогда, когда он взаимно проста как набор.) Это обобщение теории Эйлера. общая функция, который ${ displaystyle J_ {1}}$. Функция названа в честь Камилла Джордан.

Определение

Для каждого ${ displaystyle k}$, Функция Джордана ${ displaystyle J_ {k}}$ является мультипликативный и может быть оценен как

${ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} prod _ {p | n} left (1 - { frac {1} {p ^ {k}}} right) ,}$, куда ${ displaystyle p}$ пробегает простые делители числа ${ displaystyle n}$.

Характеристики

• ${ Displaystyle сумма _ {d | n} J_ {k} (d) = n ^ {k}. ,}$

который может быть написан на языке Свёртки Дирихле в качестве^[1]

${ Displaystyle J_ {к} (п) звезда 1 = п ^ {к} ,}$

и через Инверсия Мёбиуса в качестве

${ Displaystyle J_ {k} (n) = mu (n) звезда n ^ {k}}$.

Поскольку Производящая функция Дирихле из ${ displaystyle mu}$ является ${ Displaystyle 1 / zeta (s)}$ и производящая функция Дирихле ${ Displaystyle п ^ {к}}$ является ${ displaystyle zeta (s-k)}$, серия для${ displaystyle J_ {k}}$ становится

${ displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}} = { frac { zeta (sk)} { zeta (s)} }}$.

• An средний заказ из ${ Displaystyle J_ {k} (п)}$ является

${ displaystyle { frac {n ^ {k}} { zeta (k + 1)}}}$.

• В Пси-функция Дедекинда является

${ displaystyle psi (n) = { frac {J_ {2} (n)} {J_ {1} (n)}}}$,

и проверив определение (признавая, что каждый множитель в произведении над простыми числами является циклотомическим полиномом от ${ displaystyle p _ {- k}}$), арифметические функции, определенные ${ displaystyle { frac {J_ {k} (n)} {J_ {1} (n)}}}$ или же ${ Displaystyle { frac {J_ {2k} (n)} {J_ {k} (n)}}}$также могут быть показаны как целочисленные мультипликативные функции.

• ${ displaystyle sum _ { delta mid n} delta ^ {s} J_ {r} ( delta) J_ {s} left ({ frac {n} { delta}} right) = J_ {г + с} (п)}$.      ^[2]

Порядок групп матриц

В общая линейная группа матриц порядка ${ displaystyle m}$ над ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ есть заказ^[3]

${ Displaystyle | OperatorName {GL} (m, mathbf {Z} / n) | = n ^ { frac {m (m-1)} {2}} prod _ {k = 1} ^ {m } J_ {k} (n).}$

В специальная линейная группа матриц порядка ${ displaystyle m}$ над ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ есть заказ

${ Displaystyle | OperatorName {SL} (m, mathbf {Z} / n) | = n ^ { frac {m (m-1)} {2}} prod _ {k = 2} ^ {m } J_ {k} (n).}$

В симплектическая группа матриц порядка ${ displaystyle m}$ над ${ displaystyle mathbf {Z} / n}$ есть заказ

${ displaystyle | operatorname {Sp} (2m, mathbf {Z} / n) | = n ^ {m ^ {2}} prod _ {k = 1} ^ {m} J_ {2k} (n) .}$

Первые две формулы были открыты Джорданом.

Примеры

Явные списки в OEIS areJ₂ в OEIS: A007434, Дж₃ в OEIS: A059376, Дж₄ в OEIS: A059377, Дж₅ в OEIS: A059378, Дж₆ до J₁₀ в OEIS: A069091вплоть до OEIS: A069095.

Мультипликативные функции, определяемые отношениями: J₂(п) / Дж₁(п) в OEIS: A001615, Дж₃(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160889, Дж₄(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160891, Дж₅(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160893, Дж₆(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160895, Дж₇(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160897, Дж₈(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160908, Дж₉(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160953, Дж₁₀(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160957, Дж₁₁(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160960.

Примеры соотношений J_2k(п) / Дж_k(n) areJ₄(п) / Дж₂(п) в OEIS: A065958, Дж₆(п) / Дж₃(п) в OEIS: A065959, а J₈(п) / Дж₄(п) в OEIS: A065960.

Примечания

Рекомендации

• Л. Э. Диксон (1971) [1919]. История теории чисел, Vol. я. Chelsea Publishing. п. 147. ISBN  0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• М. Рам Мурти (2001). Проблемы аналитической теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 206. Springer-Verlag. п. 11. ISBN  0-387-95143-1. Zbl  0971.11001.
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. С. 32–36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

внешняя ссылка

• Андрица, Дорин; Питикари, Михай (2004). «О некоторых расширениях арифметических функций Джордана» (PDF). Acta Universitatis Apulensis (7). МИСТЕР  2157944.
• Холден, Мэтью; Оррисон, Майкл; Варбл, Майкл. «Еще одно обобщение тотенциальной функции Эйлера» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-05. Получено 2011-12-21.