Неравенство Караматаса - Википедия - Karamatas inequality
В математика, Неравенство Караматы,[1] названный в честь Йован Карамата,[2] также известный как мажоритарное неравенство, является теоремой в элементарная алгебра для выпуклых и вогнутых действительных функций, определенных на отрезке вещественной прямой. Он обобщает дискретную форму Неравенство Дженсена, и, в свою очередь, обобщает понятие Шура-выпуклые функции.
Формулировка неравенства
Позволять я быть интервал из реальная линия и разреши ж обозначают действительное значение, выпуклая функция определено на я. Если Икс1, . . . , Иксп и у1, . . . , уп числа в я такой, что (Икс1, . . . , Иксп) мажоритарный (у1, . . . , уп), тогда
(1)
Здесь мажоризация означает, что Икс1, . . . , Иксп и у1, . . . , уп удовлетворяет
- и
(2)
и у нас есть неравенства
- для всех я ∈ {1, . . . , п − 1}.
(3)
и равенство
(4)
Если ж это строго выпуклая функция, то неравенство (1) выполняется с равенством тогда и только тогда, когда Икся = уя для всех я ∈ {1, . . . , п}.
Замечания
- Если выпуклая функция ж является неубывающий, то доказательство (1) ниже, а обсуждение равенства в случае строгой выпуклости показывает, что равенство (4) можно расслабить до
(5)
- Неравенство (1) меняется на противоположное, если ж является вогнутый, поскольку в этом случае функция −ж выпуклый.
Пример
Конечная форма Неравенство Дженсена является частным случаем этого результата. Считайте реальные числа Икс1, . . . , Иксп ∈ я и разреши
обозначить их среднее арифметическое. потом (Икс1, . . . , Иксп) уделяет большое внимание ппара (а, а, . . . , а), так как среднее арифметическое я наибольшее количество (Икс1, . . . , Иксп) не меньше среднего арифметического а из всех п числа, для каждого я ∈ {1, . . . , п − 1}. По неравенству Караматы (1) для выпуклой функции ж,
Деление на п дает неравенство Дженсена. Знак меняется на противоположный, если ж вогнутая.
Доказательство неравенства
Мы можем предположить, что числа расположены в порядке убывания, как указано в (2).
Если Икся = уя для всех я ∈ {1, . . . , п}, то неравенство (1) выполняется с равенством, поэтому в дальнейшем можно считать, что Икся ≠ уя по крайней мере для одного я.
Если Икся = уя для я ∈ {1, . . . , п − 1}, то неравенство (1) и свойства мажоризации (3) и (4) не пострадают, если мы удалим Икся и уя. Следовательно, можно считать, что Икся ≠ уя для всех я ∈ {1, . . . , п − 1}.
Это свойство выпуклых функций что для двух чисел Икс ≠ у в интервале я то склон
из секущая линия через точки (Икс, ж (Икс)) и (у, ж (у)) из график из ж это монотонно неубывающий функционировать в Икс за у фиксированный (и наоборот ). Отсюда следует, что
(6)
для всех я ∈ {1, . . . , п − 1}. Определять А0 = B0 = 0 и
для всех я ∈ {1, . . . , п}. По свойству мажоризации (3), Ая ≥ Bя для всех я ∈ {1, . . . , п − 1} и (4), Ап = Bп. Следовательно,
(7)
что доказывает неравенство Караматы (1).
Чтобы обсудить случай равенства в (1), Обратите внимание, что Икс1 > у1 к (3) и наше предположение Икся ≠ уя для всех я ∈ {1, . . . , п − 1}. Позволять я наименьший индекс такой, что (Икся, уя) ≠ (Икся+1, уя+1), который существует благодаря (4). потом Ая > Bя. Если ж строго выпукло, то в (6), означающий, что cя+1 < cя. Следовательно, в сумме в правой части (7) и равенство в (1) не может удерживаться.
Если выпуклая функция ж не убывает, то cп ≥ 0. Расслабленное состояние (5) Значит это Ап ≥ Bп, что достаточно, чтобы заключить, что cп(Ап−Bп) ≥ 0 на последнем шаге (7).
Если функция ж строго выпуклый и неубывающий, то cп > 0. Осталось только обсудить дело Ап > Bп. Однако тогда в правой части (7) и равенство в (1) не может удерживаться.
Рекомендации
- ^ Кадельбург, Зоран; Джукич, Душан; Лукич, Миливое; Матич, Иван (2005), «Неравенства Караматы, Шура и Мюрхеда и некоторые приложения» (PDF), Обучение математике, 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966
- ^ Карамата, Йован (1932), "Sur une inégalité relative aux fonctions convixes" (PDF), Publ. Математика. Univ. Белград (На французском), 1: 145–148, Zbl 0005.20101
внешняя ссылка
Объяснение неравенства Караматы и теории мажоризации можно найти здесь.