Уравнение Кардара – Паризи – Чжана. - Kardar–Parisi–Zhang equation

В математика, то Уравнение Кардара – Паризи – Жанга (КПЗ) нелинейный стохастическое уравнение в частных производных, представлен Мехран Кардар, Джорджио Паризи, и И-Чэн Чжан в 1986 году.^[1][2][3] Он описывает временное изменение поля высоты ${ Displaystyle ч ({ vec {x}}, т)}$ с пространственной координатой ${ displaystyle { vec {x}}}$ и координата времени ${ displaystyle t}$:

${ displaystyle { frac { partial h ({ vec {x}}, t)} { partial t}} = nu nabla ^ {2} h + { frac { lambda} {2}} left ( nabla h right) ^ {2} + eta ({ vec {x}}, t) ;,}$

Здесь ${ displaystyle eta ({ vec {x}}, т)}$ является белый Гауссов шум со средним

${ Displaystyle langle eta ({ vec {x}}, т) rangle = 0}$

и второй момент

${ displaystyle langle eta ({ vec {x}}, t) eta ({ vec {x}} ', t') rangle = 2D delta ^ {d} ({ vec {x} } - { vec {x}} ') delta (t-t').}$

${ displaystyle nu}$, ${ displaystyle lambda}$, и ${ displaystyle D}$ параметры модели и ${ displaystyle d}$ это измерение.

В одном пространственном измерении уравнение КПЗ соответствует стохастической версии Уравнение Бюргерса с полем ${ Displaystyle и (х, т)}$через замену ${ displaystyle u = - lambda , partial h / partial x}$.

Через ренормализационная группа, уравнение КПЗ предполагается полевой теорией многих поверхностный рост модели, такие как Модель Эдема, баллистическое осаждение и SOS модель. Строгое доказательство было дано Бертини и Джакомином в случае модели SOS.^[4]

Класс универсальности КПЗ

Много системы взаимодействующих частиц, например, полностью асимметричный простой процесс исключения, лежат в КПЗ класс универсальности. Для этого класса характерны следующие критические показатели в одном пространственном измерении (1 + 1 измерение): показатель шероховатости α = 1/2, показатель роста β = 1/3, и динамический показатель z = 3/2. Чтобы проверить, относится ли модель роста к классу КПЗ, можно рассчитать ширина поверхности:

${ displaystyle W (L, t) = left langle { frac {1} {L}} int _ {0} ^ {L} { big (} h (x, t) - { bar { h}} (t) { big)} ^ {2} , dx right rangle ^ {1/2},}$

куда ${ displaystyle { bar {h}} (т)}$ - средняя высота поверхности в момент времени t, а L - размер системы. Для моделей класса КПЗ основные свойства поверхности ${ Displaystyle ч (х, т)}$ можно охарактеризовать Семья –Vicsek соотношение масштабирования из грубость^[5]

${ Displaystyle W (L, т) приблизительно L ^ { альфа} е (т / L ^ {z}),}$

с функцией масштабирования ${ displaystyle f (u)}$ удовлетворение

${ displaystyle f (u) propto { begin {cases} u ^ { beta} & u ll 1 1 & u gg 1 end {cases}}}$

В 2014 году Хайрер и Квастель показали, что в более общем плане следующие уравнения, подобные КПЗ, относятся к классу универсальности КПЗ:^[3]

${ displaystyle { frac { partial h ({ vec {x}}, t)} { partial t}} = nu nabla ^ {2} h + P left ( nabla h right) + eta ({ vec {x}}, t) ;,}$

Здесь ${ displaystyle P}$ - любой многочлен четной степени.

Решение уравнения КПЗ

Из-за нелинейности уравнения и наличия белого шума в пространстве-времени решения уравнения КПЗ известны не как гладкие или регулярные, а скорее «фрактальные» или «грубые». Действительно, даже без нелинейного члена уравнение сводится к стохастическое уравнение теплопроводности, решение которой не дифференцируемо по пространственной переменной, но проверяет Условие Гёльдера с показателем <1/2. Таким образом, нелинейный член ${ Displaystyle влево ( набла ч вправо) ^ {2}}$ некорректно определен в классическом смысле.

В 2013, Мартин Хайрер совершил прорыв в решении уравнения КПЗ, построив аппроксимации с использованием Диаграммы Фейнмана.^[6] В 2014 г. награжден Медаль Филдса для этой работы вместе с теория грубых путей и структуры регулярности.^[7]

Смотрите также

• Уравнение Фоккера – Планка
• Стохастическое уравнение в частных производных
• Универсальность (динамические системы)
• грубый путь
• фрактал
• Ренормализационная группа
• поверхностный рост
• квантовая теория поля

Источники

Примечания

• Барабаши, Альберт-Ласло; Стэнли, Гарри Юджин (1995). Фрактальные концепции в росте поверхности. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-48318-6.
• Корвин, Иван (2011). «Уравнение Кардара-Паризи-Чжана и класс универсальности». arXiv:1106.1596 [math.PR ].
• "Лекционные заметки Джереми Квастела" (PDF).