Категория Крулля – Шмидта - Krull–Schmidt category

В теория категорий, раздел математики, Категория Крулля – Шмидта является обобщением категорий, в которых Теорема Крулля – Шмидта держит. Они возникают, например, при изучении конечномерных модули над алгебра.

Определение

Позволять C быть аддитивная категория или, в более общем смысле, добавка $р$ -линейная категория для коммутативное кольцо $р$ . Мы называем C а Категория Крулля – Шмидта при условии, что каждый объект распадается на конечную прямую сумму объектов, имеющих локальные кольца эндоморфизмов. Эквивалентно, C имеет расщепленные идемпотенты и кольцо эндоморфизмов каждого объекта есть полусовершенный.

Характеристики

Имеется аналог теоремы Крулля – Шмидта в категориях Крулля – Шмидта:

Объект называется неразложимый если он не изоморфен прямой сумме двух ненулевых объектов. В категории Крулля – Шмидта имеем

объект неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
каждый объект изоморфен конечной прямой сумме неразложимых объектов.
если ${displaystyle X_ {1} oplus X_ {2} oplus cdots oplus X_ {r} cong Y_ {1} oplus Y_ {2} oplus cdots oplus Y_ {s}}$ где ${displaystyle X_ {i}}$ и ${displaystyle Y_ {j}}$ все неразложимы, то ${displaystyle r = s}$ , и существует перестановка ${displaystyle pi}$ такой, что ${displaystyle X_ {pi (i)} cong Y_ {i}}$ для всех $я$ .

Можно определить Колчан Ауслендера-Рейтен категории Крулля – Шмидта.

Примеры

An абелева категория в котором каждый объект имеет конечная длина.^[1] Это включает как частный случай категорию конечномерных модулей над алгеброй.
Категория конечно порожденных модулей над конечный^[2] $р$ -алгебра, куда $р$ это коммутативный Нётерян полное местное кольцо.^[3]
Категория когерентные пучки на полное разнообразие над алгебраически замкнутое поле.^[4]

Не пример

Категория конечно порожденных проективные модули над целыми числами имеет расщепленные идемпотенты, и каждый модуль изоморфен конечной прямой сумме копий регулярного модуля, число которых задается классифицировать. Таким образом, категория имеет единственное разложение на неразложимые, но не является категорией Крулля-Шмидта, поскольку регулярный модуль не имеет кольца локальных эндоморфизмов.

Смотрите также

Примечания

^ Это классический случай, см., Например, Краузе (2012), следствие 3.3.3.
^ Конечная $р$ -алгебра - это $р$ -алгебра, которая конечно порождена как $р$ -модуль.
^ Райнер (2003), Раздел 6, Упражнения 5 и 6, стр. 88.
^ Атья (1956), теорема 2.