Кольцо Krull - Krull ring

В коммутативной алгебре a Кольцо Krull или же Krull домен это коммутативное кольцо с хорошо развитой теорией факторизации простых чисел. Их представил Вольфганг Круль (1931 ). Они являются многомерным обобщением Дедекиндовские домены, которые в точности являются областями Крулля размерности не выше 1.

В этой статье кольцо коммутативно и имеет единицу.

Формальное определение

Позволять ${displaystyle A}$ быть область целостности и разреши ${displaystyle P}$ быть набором всех главные идеалы из ${displaystyle A}$ из высота один, то есть множество всех простых идеалов, собственно не содержащих ненулевых простых идеалов. потом ${displaystyle A}$ это Кольцо Krull если

${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ это кольцо дискретной оценки для всех ${displaystyle {mathfrak {p}} на языке P}$ ,
${displaystyle A}$ является пересечением этих дискретных колец оценки (рассматриваемых как подкольца поля частных ${displaystyle A}$ ).
Любой ненулевой элемент ${displaystyle A}$ содержится только в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Характеристики

Область Крулля - это уникальная область факторизации тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты один является главным.^[1]

Позволять А быть Кольцо Зарисского (например, местное нётеровское кольцо). Если завершение ${displaystyle {widehat {A}}}$ является областью Крулля, то А является областью Крулля.^[2]

Примеры

Каждый полностью закрытый нётерский домен кольцо Крулля. Особенно, Дедекиндовские домены являются кольцами Крулля. Наоборот, кольца Крулля интегрально замкнуты, поэтому нетерова область является Круллевской тогда и только тогда, когда она интегрально замкнута.
Если ${displaystyle A}$ кольцо Крулля, то кольцо многочленов ${displaystyle A [x]}$ и кольцо формальной мощности ${displaystyle A [[x]]}$ .
Кольцо многочленов ${displaystyle R [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots]}$ от бесконечного числа переменных над уникальная область факторизации ${displaystyle R}$ кольцо Крулля, которое не является нётеровым. В общем, любая уникальная область факторизации является кольцом Крулля.
Позволять ${displaystyle A}$ быть Нётерян домен с поле частного ${displaystyle K}$ , и ${displaystyle L}$ быть конечное алгебраическое расширение из ${displaystyle K}$ . Тогда целостное закрытие из ${displaystyle A}$ в ${displaystyle L}$ кольцо Крулля (Теорема Мори – Нагаты ).^[3]

Группа классов дивизоров кольца Крулля

Дивизор (Вейля) кольца Крулля А является формальной целочисленной линейной комбинацией простых идеалов высоты 1, образующих группу D(А). Делитель вида ${displaystyle div (x) = sum _ {pin P} v_ {p} (x) cdot p}$ для каких-то ненулевых Икс в K, дробное поле ${displaystyle A}$ , называется главным дивизором, а главные дивизоры образуют подгруппу группы дивизоров. Фактор группы делителей по подгруппе главных дивизоров называется группа классов дивизоров из А.

А Делитель Картье кольца Крулля является локально главным дивизором (Вейля). Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров, содержащую главные дивизоры. Фактор дивизоров Картье по главным дивизорам является подгруппой группы классов дивизоров, изоморфной группе классов дивизоров. Группа Пикард обратимых пучков на Spec (А).

Пример: в ринге k[Икс,у,z]/(ху–z²) группа классов дивизоров имеет порядок 2, порожденный дивизором у=z, но подгруппа Пикара - тривиальная группа.^[4]

Рекомендации

^ "Кольцо Крулля - Математическая энциклопедия". eom.springer.de. Получено 2016-04-14.
^ Бурбаки, 7.1, № 10, Предложение 16.
^ Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006-10-12). Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей.. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521688604.
^ Hartshorne, GTM52, Пример 6.5.2, стр.133 и Пример 6.11.3, стр.142.

Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра.
"Кольцо Крулля", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Крулл, Вольфганг (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Математика., 167: 160–196^{[постоянная мертвая ссылка ]}
Хидеюки Мацумура, Коммутативная алгебра. Второе издание. Серия лекций по математике, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, 1980. xv + 313 с. ISBN 0-8053-7026-9
Хидеюки Мацумура, Теория коммутативных колец. Перевод с японского М. Рейда. Кембриджские исследования по высшей математике, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv + 320 с. ISBN 0-521-25916-9
Самуэль, Пьер (1964), Мурти, М. Павман (ред.), Лекции по уникальным доменам факторизации, Институт фундаментальных исследований им. Тата Лекции по математике, 30, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, МИСТЕР 0214579

[1] "Кольцо Крулля - Математическая энциклопедия". eom.springer.de. Получено 2016-04-14.

[2] Бурбаки, 7.1, № 10, Предложение 16.

[3] Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006-10-12). Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей.. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521688604.

[4] Hartshorne, GTM52, Пример 6.5.2, стр.133 и Пример 6.11.3, стр.142.

[1]

[2]

[3]

[4]