Множители Лагранжа на банаховых пространствах - Lagrange multipliers on Banach spaces

В области вариационное исчисление в математика, метод Множители Лагранжа на банаховых пространствах можно использовать для решения некоторых бесконечномерных сдержанный проблемы оптимизации. Метод является обобщением классического метода Множители Лагранжа как раньше находил экстремумы из функция конечного числа переменных.

Теорема о множителях Лагранжа для банаховых пространств

Позволять Икс и Y быть настоящий Банаховы пространства. Позволять U быть открытое подмножество из Икс и разреши ж : U → р быть непрерывным дифференцируемая функция. Позволять г : U → Y - еще одна непрерывно дифференцируемая функция, ограничение: цель - найти экстремальные точки (максимумы или минимумы) ж при условии, что г равно нулю.

Предположим, что ты₀ это условный экстремум из ж, т.е. экстремум ж на

${displaystyle g ^ {- 1} (0) = {xin Umid g (x) = 0in Y} подэтап U.}$

Предположим также, что Производная Фреше Dг(ты₀) : Икс → Y из г в ты₀ это сюръективный линейная карта. Тогда существует Множитель Лагранжа λ : Y → р в Y^∗, то двойное пространство к Y, так что

${displaystyle mathrm {D} f (u_ {0}) = lambda circ mathrm {D} g (u_ {0}). quad {mbox {(L)}}}$

Поскольку Dж(ты₀) является элементом дуального пространства Икс^∗, уравнение (L) также можно записать как

${displaystyle mathrm {D} f (u_ {0}) = left (mathrm {D} g (u_ {0}) ight) ^ {*} (лямбда),}$

где Dг(ты₀))^∗(λ) это откат из λ автор: Dг(ты₀), т.е. действие прилегающий карта (Dг(ты₀))^∗ на λ, как определено

${displaystyle left (mathrm {D} g (u_ {0}) ight) ^ {*} (lambda) = lambda circ mathrm {D} g (u_ {0}).}$

Связь с конечномерным случаем

В случае, если Икс и Y оба конечномерны (т.е. линейно изоморфный к р^м и р^п для некоторых натуральные числа м и п), затем запишите уравнение (L) в матрица форма показывает, что λ - обычный вектор множителя Лагранжа; в этом случае п = 1, λ - обычный множитель Лагранжа, действительное число.

заявка

Во многих задачах оптимизации стремятся минимизировать функционал, определенный на бесконечномерном пространстве, таком как банахово пространство.

Рассмотрим, например, Соболевское пространство ${extstyle X = H_ {0} ^ {1} ([- 1, + 1]; mathbb {R})}$ и функционал ${extstyle f: Xightarrow mathbb {R}}$ данный

${displaystyle f (u) = int _ {- 1} ^ {+ 1} u '(x) ^ {2}, mathrm {d} x.}$

Без каких-либо ограничений минимальное значение ж будет 0, достигается ты₀(Икс) = 0 для всех Икс от -1 до +1. Можно также рассмотреть задачу ограниченной оптимизации, чтобы минимизировать ж среди всех тех ты ∈ Икс такое, что среднее значение ты +1. В терминах приведенной выше теоремы ограничение г будет дано

${displaystyle g (u) = {frac {1} {2}} int _ {- 1} ^ {+ 1} u (x), mathrm {d} x-1.}$

Однако эта проблема может быть решена, как и в конечномерном случае, поскольку множитель Лагранжа ${displaystyle lambda}$ это только скаляр.

Смотрите также

• Принцип минимума Понтрягина, Гамильтонов метод в вариационном исчислении.

использованная литература

• Люенбергер, Дэвид Г. (1969). «Локальная теория ограниченной оптимизации». Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 239–270. ISBN  0-471-55359-X.
• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: вариационные методы и оптимизация. Прикладные математические науки 109. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-1-4612-9529-7. (См. Раздел 4.14, стр. 270–271.)

В этой статье использованы материалы из Множители Лагранжа на банаховых пространствах на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.