Вихрь Лэмба – Озеена - Lamb–Oseen vortex

В динамика жидкостей, то Вихрь Лэмба – Озеена моделирует линию вихрь что распадается из-за вязкость. Этот вихрь назван в честь Гораций Лэмб и Карл Вильгельм Озеен^[1].^[2]

Векторный график поля скорости вихря Лэмба – Озеена.

Эволюция вихря Лэмба – Озеена в воздухе в реальном времени. Свободно плавающие пробные частицы показывают картину скорости и завихренности. (масштаб: изображение шириной 20 см)

Математическое описание

Осеен искал решение для Уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах ${ Displaystyle (г, тета, г)}$ с компонентами скорости ${ displaystyle (v_ {r}, v _ { theta}, v_ {z})}$ формы

${ displaystyle v_ {r} = 0, quad v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} g (r, t), quad v_ {z} = 0.}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ это обращение ядра вихря. Это привело к тому, что уравнения Навье-Стокса сводятся к

${ displaystyle { frac { partial g} { partial t}} = nu left ({ frac { partial ^ {2} g} { partial r ^ {2}}} - { frac { 1} {r}} { frac { partial g} { partial r}} right)}$

который, когда находится в условиях, регулярных при ${ displaystyle r = 0}$ и становится единством как ${ displaystyle r rightarrow infty}$, приводит к^[3]

${ Displaystyle г (г, т) = 1- mathrm {е} ^ {- г ^ {2} / 4 ню т},}$

куда ${ displaystyle nu}$ это кинематическая вязкость жидкости. В ${ displaystyle t = 0}$, имеем потенциальный вихрь с сосредоточенными завихренность на ${ displaystyle z}$ ось; и эта завихренность со временем рассеивается.

Единственная ненулевая компонента завихренности находится в ${ displaystyle z}$ направление, данное

${ displaystyle omega _ {z} (r, t) = { frac { Gamma} {4 pi nu t}} mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4 nu t} .}$

В давление поле просто обеспечивает вращение вихря в по окружности направление, обеспечивающее центростремительный сила

${ Displaystyle { partial p over partial r} = rho {v ^ {2} over r},}$

куда ρ постоянная плотность^[4]

Обобщенный вихрь Озеена

Обобщенный вихрь Озеена может быть получен путем поиска решений вида

${ displaystyle v_ {r} = - gamma (t) r, quad v _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}} g (r, t), quad v_ {z } = 2 gamma (t) z}$

что приводит к уравнению

${ displaystyle { frac { partial g} { partial t}} - gamma r { frac { partial g} { partial r}} = nu left ({ frac { partial ^ {2 } g} { partial r ^ {2}}} - { frac {1} {r}} { frac { partial g} { partial r}} right).}$

Автомодельное решение существует для координаты ${ displaystyle eta = r / phi (t)}$, при условии ${ Displaystyle фи фи '+ гамма фи ^ {2} = а}$, куда ${ displaystyle a}$ - константа, и в этом случае ${ displaystyle g = 1- mathrm {e} ^ {- a eta ^ {2} / 2 nu}}$. Решение для ${ Displaystyle phi (т)}$ может быть написано согласно Ротту (1958)^[5] в качестве

${ displaystyle phi ^ {2} = 2a exp left (-2 int _ {0} ^ {t} gamma (s) , mathrm {d} s right) int _ {c} ^ {t} exp left (2 int _ {0} ^ {u} gamma (s) , mathrm {d} s right) , mathrm {d} u,}$

куда ${ displaystyle c}$ - произвольная постоянная. За ${ displaystyle gamma = 0}$восстанавливается классический вихрь Лэмба-Озеена. Дело ${ displaystyle gamma = k}$ соответствует осесимметричному поток в точке застоя, куда ${ displaystyle k}$ является константой. Когда ${ displaystyle c = - infty}$, ${ Displaystyle phi ^ {2} = а / к}$, а Burgers vortex получается. Для произвольных ${ displaystyle c}$, решение становится ${ displaystyle phi ^ {2} = a (1+ beta mathrm {e} ^ {- 2kt}) / k}$, куда ${ displaystyle beta}$ - произвольная постоянная. В качестве ${ Displaystyle т rightarrow infty}$, Burgers vortex восстанавливается.

Рекомендации