Формула локальной характеристики Эйлера - Википедия - Local Euler characteristic formula

в математический поле Когомологии Галуа, то локальная характеристическая формула Эйлера это результат из-за Джон Тейт который вычисляет Эйлерова характеристика из групповые когомологии из абсолютная группа Галуа грамм_K из неархимедово локальное поле K.

Заявление

Позволять K - неархимедово локальное поле, пусть K^s обозначить отделяемое закрытие из K, позволять грамм_K = Гал (K^s/K) - абсолютная группа Галуа K, и разреши ЧАС^я(K, M) обозначают групповые когомологии грамм_K с коэффициентами в M. Поскольку когомологическая размерность из грамм_K два,^[1] ЧАС^я(K, M) = 0 для я ≥ 3. Следовательно, в эйлерову характеристику входят только группы с я = 0, 1, 2.

Случай конечных модулей

Позволять M быть грамм_K-модуль конечных порядок м. Эйлерова характеристика M определяется как^[2]

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {2} (K, M)} { # H ^ {1} (К, М)}}}$

(в яth группы когомологий для я ≥ 3 отображаются неявно, поскольку все их размеры равны).

Позволять р обозначить кольцо целых чисел из K. Затем результат Тэйта утверждает, что если м является относительно простой к характеристика из K, тогда^[3]

${ Displaystyle чи (G_ {K}, M) = left ( # R / mR right) ^ {- 1},}$

т.е. обратный порядку кольцо частного р/Мистер.

Следует выделить два особых случая. Если порядок M относительно проста с характеристикой поле вычетов из K, то эйлерова характеристика равна единице. Если K это конечное расширение из п-адические числа Q_п, и если v_п обозначает п-адическая оценка, тогда

${ Displaystyle чи (G_ {K}, M) = p ^ {- [K: mathbf {Q} _ {p}] v_ {p} (m)}}$

куда [K:Q_п] это степень из K над Q_п.

Эйлерову характеристику можно переписать, используя местная двойственность Тейт, так как

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {0} (K, M ^ { prime})} { # H ^ {1} (К, М)}}}$

куда M^′ это местная галерея Тейт двойная из M.

Примечания

Рекомендации

• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (второе изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-X, МИСТЕР  2261462, получено 2010-03-27
• Серр, Жан-Пьер (2002), Когомологии Галуа, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, МИСТЕР  1867431, перевод Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).