Локальная двойственность Тейт - Local Tate duality

В Когомологии Галуа, местная двойственность Тейт (или просто локальная двойственность) это двойственность за Модули Галуа для абсолютная группа Галуа из неархимедово локальное поле. Он назван в честь Джон Тейт кто первый это доказал. Это показывает, что двойственным к такому модулю Галуа является Тейт твист обычного линейного двойственного. Этот новый дуал называется (местный) Тейт дуал.

Локальная двойственность в сочетании с Тейт локальная характеристическая формула Эйлера предоставляют универсальный набор инструментов для вычисления когомологий Галуа локальных полей.

Заявление

Позволять K - неархимедово локальное поле, пусть K^s обозначить отделяемое закрытие из K, и разреши грамм_K = Гал (K^s/K) - абсолютная группа Галуа K.

Случай конечных модулей

Обозначим через μ модуль Галуа всех корни единства в K^s. Учитывая конечное грамм_K-модуль А порядка первичного характеристика из K, двойственный Тейт А определяется как

${ Displaystyle A ^ { prime} = mathrm {Hom} (A, mu)}$

(т.е. это твист Тэйта обычного двойственного А^∗). Позволять ЧАС^я(K, А) обозначают групповые когомологии из грамм_K с коэффициентами в А. Теорема утверждает, что спаривание

${ Displaystyle Н ^ {я} (К, А) раз Н ^ {2-я} (К, А ^ { простое}) rightarrow H ^ {2} (К, му) = mathbf {Q } / mathbf {Z}}$

предоставленный чашка продукта устанавливает двойственность между ЧАС^я(K, А) и ЧАС^2−я(K, А^′) за я = 0, 1, 2.^[1] С грамм_K имеет когомологическая размерность равные двум, высшие группы когомологий обращаются в нуль.^[2]

В случае если п-адические представления

Позволять п быть простое число. Позволять Q_п(1) обозначают п-адический циклотомический характер из грамм_K (т.е. Модуль Тейт из μ). А п-адическое представление из грамм_K это непрерывный представление

${ Displaystyle rho: G_ {K} rightarrow mathrm {GL} (V)}$

куда V это конечномерный векторное пространство над p-адические числа Q_п и GL (V) обозначает группу обратимые линейные отображения из V себе.^[3] Двойник галереи Тейт V определяется как

${ Displaystyle V ^ { prime} = mathrm {Hom} (V, mathbf {Q} _ {p} (1))}$

(т.е. это твист Тэйта обычного двойственного V^∗ = Hom (V, Q_п)). В этом случае, ЧАС^я(K, V) обозначает непрерывные групповые когомологии из грамм_K с коэффициентами в V. Локальная двойственность Тейт применительно к V говорит, что стаканчик вызывает спаривание

${ displaystyle H ^ {i} (K, V) times H ^ {2-i} (K, V ^ { prime}) rightarrow H ^ {2} (K, mathbf {Q} _ {p } (1)) = mathbf {Q} _ {p}}$

что есть двойственность между ЧАС^я(K, V) и ЧАС^2−я(K, V ') за я = 0, 1, 2.^[4] Опять же, высшие группы когомологий исчезают.

Смотрите также

• Двойственность Тейт, глобальная версия (т.е. для глобальные поля )

Примечания

Рекомендации

• Рубин, Карл (2000), Системы Эйлера, Лекции Германа Вейля, Анналы математических исследований, 147, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-05076-8, МИСТЕР  1749177
• Серр, Жан-Пьер (2002), Когомологии Галуа, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, МИСТЕР  1867431, перевод Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).